Factorización

En matemáticas, la factorización (o factoreo) es una técnica que consiste la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma demultiplicación. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.

Descomposición de números naturales en sus factores primos

Por ejemplo, un número natural como 20 puede expresarse como un producto de números de diferentes formas:

20 = 2 • 10 = 1 • 20 = 4 • 5

En cada uno de estos casos, los números que forman el producto son los factores.

Es decir, cuando expresamos el número 20 como el producto 2 • 10, a cada uno de los números (2 y 10) se les denomina factor.

En el caso de 1 • 20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4 • 5, los factores son 4 y 5.

Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10, 20 se denominan a su vez divisores de 20.

Otro ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 22 • 3 • 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.

Debe recordarse, además, que cuando un número es divisible únicamente por sí mismo y por la unidad el número se denominaprimo.

Factorización y productos notables

Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o más números, los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o más factores algebraicos.

Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en que la expresión es irreducible, solo puede expresarse como el producto del número 1 por la expresión original.

Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización.

El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar.

Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos.

Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.

Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras.

Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.

En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos.

Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y).

Algunos ejemplos:

De la expresión ab2 + 3cb  b3 podemos factorizar b

y obtenemos la expresión: b(ab + 3c  b2) (1)

Veamos paso a paso cómo se obtuvo la expresión:

ahora podríamos reacomodar la expresión que queda dentro del paréntesis:

Finalmente si sustituimos este último resultado en (1), obtenemos:

ab2 + 3cb  b3 = b (b (a  b) + 3c)

ab2 + 3cb  b3 = b (ab  b2 + 3c)

ab2 + 3cb  b3 = b (ab +3c –b2)

Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen

...