Formula General

FORMULA GENERAL DE LA ECUACION LINEAL

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

En dos incógnitas

En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es:

;

Donde representa la pendiente y el valor de determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen).

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

Formas de ecuaciones lineales

Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.

Ecuación general

Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.

Ecuación segmentaria o simétrica

Aquí ni E ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.

Forma paramétrica

Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.

Casos especiales:

Un caso especial es la forma estándar donde y . El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con ese eje.

Otro caso especial de la forma general donde y . El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.

En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.

Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: .

Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones

Ecuación lineal en el espacio n-dimensional

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

representa un plano y una función

representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones en un volumen n-dimensional.

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.

Linealidad

Artículo principal: Aplicación lineal.

Una función definida sobre un espacio vectorial es lineal si y solo si se cumple con la siguiente proposición:

donde α es cualquier escalar. También se llama a f operador lineal.

Interceptos, pendiente y ecuación de la recta

Las ecuaciones lineales son siempre de la forma:

y = mx + b

Donde m es la pendiente y la b es el intercepto en y.

El intercepto en y esta expresada por: (0,b) y es donde la recta corta el eje de y

El intercepto en x esta expresada por: (a,0) y es donde la recta corta el eje de x.

Si la ecuación es y = 2x + -6, el intercepto en y seria:

(0,-6)

Ejemplo 1: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 3x + -5.

Solucion: En este caso, la b es -5; quiere decir que el intercepto en y es (0, -5)

Ejemplo 2: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 4x.

Solucion: En este caso, la b no está presente en la ecuación, pero la ecuación y = 4x equivale a y = 4x + 0. Por lo tanto, el intercepto en y es (0, 0).

Ejemplo 3: Buscar el intercepto en y de la ecuación 3y = 18x + 24

Solucion: ¡Ojo! El intercepto en y no es 24, hay que fijarse bien que la ecuación no esta en su forma y = mx + b, hay que despejar de la siguiente manera:

3y=18x+24

3 3 3

y = 6x + 8 < Ahora, esta en su forma y = mx + b. El intercepto

en y es (0,8)>

La Pendiente

La pendiente es la inclinación de una recta. Una forma de calcular la pendiente de una recta usando la siguiente fórmula. Dado dos puntos (x1,y1), (x2,y2),que están en una recta L, la inclinación o la pendiente m de la recta de determina mediante

m=y2-y1

x2 - x1

La pendiente es la la razon de cambios de x y y. . Esta puede ser positiva, negativa, puede ser 0 y en algunos casos, la pendiente esta indefinida.

......

....

Ejemplo1: Buscar la pendiente de los puntos (2,4) y (3,6)

m = y2 - y1 = 6 - 4 = 2 = 2

x2 - x1 3 - 2 1

La pendiente es 2.

A veces, tenemos dos puntos, y queremos hallar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos. Primero, hay que determinar la pendiente de la recta, y para hallar la ecuación, utilizamos la ecuación y = mx + b donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto de b.

Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,5) y (0,9).

M=y2-y1=9-5=4= -4

x2 - x1 0 - 1 -1

La pendiente es -4. Ahora, hay que buscar el intercepto en y. En este caso, ya está dado por (0,9)

Si la pendiente es -4, y el intercepto (0,9) entonces la ecuación es:

y = -4x + 9

Nota: Para buscar el intercepto en y, hay que siempre fijarse que la ecuación este en su forma

y = mx + b. Si no lo esta, hay que expresarla respecto a y.

Ejemplo: 9x - 3y = 12 <No esta en la forma y = mx + b>

-3y = -9x + 12 <Dejar la y sola, pasar el 9x opuesto>

-3y = -9x + 12 <Dividir entre 3 para despejar la y>

-3 -3 -3

...