Funciones Racionales

Funciones Racionales

Definición: una función racional es una función de la forma

Rx=p(x)q(x)

Donde p y q son funciones polinomiales y q no es un polinomio cero. El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos para los que el denominador q es cero.

Características:

* La palabra racional hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de 2 polinomios) los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

* Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo de análisis numéricos para aproximar resultados de otras funciones más complejas.

Ejemplos

1. El dominio de Rx=2x2-4x+5 ;

Es el conjunto de todos los números reales excepto -5

2. El dominio de Rx=1x2-4

Es el conjunto de todos los números reales excepto -2 y 2

3. El dominio de Rx=x2-1x-1

Es el conjunto de todos los números reales excepto 1

Asíntotas verticales, Horizontales u Oblicuas

Asíntotas verticales (sea R una función)

Sí cuando x se acerca a un número c, los valores R(x)→ ∞, entonces la recta x=c es una asíntota vertical de la gráfica de R. La grafica de R nunca cruza la asíntota vertical.

Teorema: localización de asíntotas verticales

Una función racional

Rx=p(x)q(x), simplificada, tendrá una asíntota vertical x=r sí r es un cero real del denominador q: esto es, sí x-r es un factor del denominador q de una función racional Rx=p(x)q(x) simplificada entonces R tendrá la asíntota vertical x=r.

Ejemplos

Función Racional | Solución |

Rx=xx2-4 | R esta simplificada y los ceros del denominador x2-4 son -2 y 2. Así las recatas son x=-2 y x=2. |

F(x)x+3x-1 | F Está simplificada y el único cero del denominador es 1. Entonces la recta x=1 es la única asíntota vertical de la gráfica de F |

Gx=x2-9x2+4x-21 Gx=x+3(x-3)x+7(x-3) Gx=x+3x+7 | El único cero del denominador de Gx simplificada es -7. Entonces, la recta x=-7 es la única asíntota vertical de la grafica de G. |

Asíntotas Horizontales (sea R una función)

Sí cuando x→-∞ ó x→∞ los valores de Rx se acercan a un número fijo y entonces la recta y=L es una asíntota horizontal de de la grafica R.

Teorema: sí la función racional es propia, la recta y=0 es una asíntota horizontal de una grafica.

Ejemplo

Encuentre asíntotas horizontales de la gráfica de

R(x)x-124x2+x+1

Solución:

la función racional R es propia, ya que el grado del numerador, 1, es menor que el grado del denominador, 2. Se concluye que la recta y=0 es una horizontalasíntota de la gráfica de y=0 es una asíntota horizontal de la grafica R.

Para ver por qué y=0 es una asítota horizontal de la función R en este ejemplo debe investigarse el comportamiento de R cuando x→-∞ y x→∞. Cuando x es no acotada, el numerador de R, que es x-12, se aproxima por la función de potencia y=x, mientras que el denominador de R,4x2+x+1 se aproxima por la función de potencia y=4x2. Al aplicar estas ideas de R(x) se encuentra que:

Rxx-124x2+x+1≈x4x2=14x→0

Esto demuestra que la recta y=0 es una asíntota horizontal de la gráfica R.

Asíntotas Oblicuas

Sí una asíntota no es horizontal ni vertical, se llama oblicua. Una asíntota oblicua, cuando ocurre, describe el comportamiento terminal de la grafica. La grafica de una función podría interceptar una asíntota oblicua.

Asíntotas horizontales u oblicuas

Ejemplo #1

Encuentre las asíntotas horizontales u oblicuas, si las hay, de la grafica de

H(x)3x4-x2x3-x2+1

Solución: la función racional H es impropia, pues el grado del numerador, 4, es mayor que el grado del denominador, 3. Para encontrar las asíntotas horizontales u oblicuas, se usa la división larga, resultado de dicha división es, 2x2-3x-3

Como resultado,

Hx3x4-x2x3-x2+1=3x+3+2x2-3x-3x3-x2+1

Entonces, cuando x→-∞ o cuando x→∞,

2x2-3x-3x3-x2+1≈2x2x3=2x→0

Así, sí x→-∞ o si x→∞, se tiene Hx→3x+3. se concluye que la gráfica de la función racional H tiene una asíntota oblicua y=3x+3.

Ejemplo #2

Encuentre las asíntotas horizontales u oblicuas, si las hay, de la grafica de

R(x)8x2-x+24x2-1

Solución: la función racional R es impropia, ya que el grado del numerador, 2, es igual al grado del denominador, 2. Para encontrar cualquier asíntota horizontal u oblicua, se usa la división larga, resultado de dicha división es, -x+4

Como resultado,

Rx8x2-x+24x2-1=2+-x+44x2-1

Entonces, cuando x→-∞ o cuando

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