Funciones Racionales

FUNCIONES RACIONALES

Una función racional es una función que puede ser expresada de la forma;

o de una forma mas sencilla;

Donde P(x) y Q(x) son polinomios y X una variable, siendo Q(x) distinto del polinomio nulo, es decir, cuando Q≠0.

Funciones racionales propias e impropias

Se llaman funciones racionales propias aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador, n < m

Ejemplo 1.

Sea la función

el grado del polinomio del numerador es n = 2 y el del denominador es m = 3. Esta función racional es propia.

Y se llaman funciones racionales impropias aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el del denominador, n ≥ m.

Ejemplo 2.

Sea la función

el grado del polinomio del numerador es n = 2 y el del denominador es m = 1. Esta función racional es impropia.

Asíntotas.

Son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( x o y ) tienden a infinito.

1.- asíntotas vertical

2.-asintotas horizontal

3.-asintotas oblicuas

Asíntota vertical

Estas existen en los valores de la variable x que hacen cero al denominador, en otras palabras en los valores de ‘x’ excluidos del dominio de la función. Estos valores excluidos se representan en la grafica como líneas verticales.

Ejemplo:

Sea la función

es función racional propia porque el grado del numerador n = 0 es menor que el del denominador m = 1.

Evaluamos en cero para obtener la intersección en y (ordenada al origen);

Igualamos la función a cero para obtener la intersección en x (raiz)

y llegamos a una contradicción. Esto implica que no hay ningún valor de x tal que la función valga cero, es decir, no tiene raíces.

Para encontrar la asíntota vertical igualamos a 0 el denominador

X+1=0

Por inspección se ve que la función no está definida cuando x = -1.

Para aclarar el comportamiento de la función recurrimos a una representación tabular:

x f(x)

-100 -0.0303

-10 -0.3333

-1.01 -300

-1

-0.99 300

0 3

10 0.2727

100 0.0297

También se observa que si nos acercamos a x = -1, los valores de f(x) son cada vez mayores, ya sea positivos (por la derecha) o negativos (por la izquierda). Otra vez, el comportamiento de la función es asintótico a x = -1.

La representación gráfica es la siguiente:

Asíntota horizontal.

Los valores de la variable y que se representan como una asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los polinomios de la función racional, n y m respectivamente (numerador y denominador).

Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se comparan los grados del numerador y denominador.

Si en la función

1) n > m f(x) NO posee asíntota horizontal

2) n = m f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta

3) n < m f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X.

Ejemplo

Igualamos la función a cero para obtener la intersección en x

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