Analisis de funciones racionales

Ejemplos de análisis de funciones racionales 1. Realice el análisis completo de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 𝑥 Determinando: a) Dominio y Rango b) Simetría c) Intersección con los ejes cartesianos d) Asíntotas vertical, horizontal u oblicua, según corresponda e) Puntos críticos, y clasifíquelos en máximos y mínimos, si es que existen. f) Monotonía de la función (intervalos de crecimiento y decrecimiento) g) Puntos de inflexión, si es que existen. h) Sentido de las concavidades. i) Gráfica de la función. Solución a) Dominio y Rango Por simple inspección, se observa que el polinomio del denominador de la función propuesta se anula en 𝑥 = 0; teniéndose que: 𝑓(0) = 0 2 + 1 0 = ∞ Por lo tanto, el dominio de la función 𝑓(𝑥) es: 𝐷𝑓(𝑥) = ℝ − {0} Respecto al Rango, este queda pendiente toda vez que falta conocer algunas otras características de la función. b) Simetría 𝑓(𝑥) = 𝑥 2+1 𝑥 𝑓(−𝑥) = (−𝑥) 2 + 1 −𝑥 = 𝑥 2 + 1 −𝑥 = − 𝑥 2 + 1 𝑥 Puesto que 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥), entonces la función 𝑓(𝑥) no es “par”; es decir, no existe simetría con el eje Y. Ahora se tiene, −𝑓(−𝑥) = − (− 𝑥 2 + 1 𝑥 ) = 𝑥 2 + 1 𝑥 Puesto que 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥), resulta que la función 𝑓(𝑥) es “impar”, por lo que la gráfica de 𝑓(𝑥) es simétrica respecto al origen. c) Intersección con los ejes cartesianos * Con el eje Y, se aplica 𝑦 = 𝑓(0) Toda vez que 𝑦 = 𝑓(0) = ∞, se tiene que la gráfica de la función propuesta no interseca al eje Y. * Con el eje X, sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 0 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 𝑥 = 0 → (𝑥 2 + 1) = 0 → 𝑥 2 = −1 𝑥 = ± √−1 Toda vez que en el conjunto de los reales no está definida la raíz cuadrada de números negativos; es razón por la cual no existe ningún valor de 𝑥 𝜀 ℝ en donde la gráfica de la función 𝑓(𝑥) interseca al eje X. Concluyendo, no se tienen puntos de intersección de la función 𝑓(𝑥) con los ejes cartesianos. d) Asíntotas vertical, horizontal u oblicua, según corresponda *Asíntota Vertical (A.V.) *Como el polinomio del denominador se anula en 𝑥 = 0 , tal que 𝑓(0) = ∞, entonces existe una asíntota vertical (A.V.); cuya ecuación es: 𝐴. 𝑉. → 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 = 0 *Asíntota Horizontal (A.H.) Toda vez que ambos polinomios de la función racional son de diferente grado, se tiene que la función 𝑓(𝑥) carece de este tipo de asíntota. *Asíntota Oblicua (A.O.) Como en 𝑓(𝑥) el grado del polinomio del numerador (2) es una unidad mayor que el grado del polinomio del denominador (1), existe una Asíntota Oblicua cuya ecuación puede encontrarse utilizando límites o bien en forma práctica a partir del cociente que resulta al dividir ambos polinomios de la función racional; es decir, 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 𝑥 Dividiendo ambos polinomios, A partir del cociente obtenido; se tiene: Ecuación de la asíntota oblicua (A.O): 𝑦 = 𝑥 (pendiente 𝑚 = 1 ordenada al origen 𝑏 = 0) e) Puntos críticos, y clasifíquelos en máximos y mínimos, si es que existen. Puntos críticos: Se resuelve 𝑓 ′ (𝑥) = 0 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 (2𝑥) − (𝑥 2 + 1)(1) 𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 2 − 𝑥 2 − 1 𝑥 2 = 𝑥 2 − 1 𝑥 2 Simplificando, se tiene: Ahora, igualamos a cero para encontrar las abscisas críticas. 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 2 − 1 𝑥 2 = 0 → 𝑥 2 − 1 = 0 → 𝑥 2 = 1 De donde, 𝑥 = ± √1 = ±1 De aquí que, se tienen las abscisas críticas: 𝑥 = −1, 𝑥 = 1 Ahora, se sustituyen estos valores en la función original para determinar los valores de las correspondientes ordenadas críticas. 𝑦 = 𝑓(−1) = (−1) 2 + 1 −1 = 2 −1 = −2 𝑦 = 𝑓(1) = (1) 2 + 1 1 = 2 2 = 2 Con estos resultados, se tiene que la función tiene como puntos críticos: 𝐴(−1, −2), 𝐵(1,2), Al respecto, podemos ver que ambos puntos son simétricos respecto al origen, lo cual es consecuencia con el hecho de que la función 𝑓(𝑥) es impar. Puntos Máximos y mínimos. Con los elementos de la función hasta ahora conocidos; concretamente que se tiene una asíntota oblicua dada por una recta con pendiente negativa (-1) que pasa por el origen, que existe una asíntota vertical que coincide precisamente con el eje X, y de que son simétricos los puntos críticos encontrados, podemos entonces decir que uno de estos puntos es un máximo mientras que el otro punto es un mínimo; afirmaciones que pueden comprobarse formalmente, por ejemplo, aplicando el criterio de la primera derivada, como se detalla a continuación. Criterio de la primera derivada. • Para la abscisa crítica 𝑥 = −1, 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 2 − 1 𝑥 2 → 𝑓 ′ (−1 −) = (−1 −) 2 − 1 (−1 −) 2 ⇒ (+) (+) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) > 0 𝑜 (+) 𝑓 ′ (−1 +) = (−1 +) 2 − 1 (−1 +) 2 ⇒ (−) (+) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) < 0 𝑜 (−) Puesto que 𝑓 ′ (𝑥) pasa de positiva a negativa en 𝑥 = −1 , entonces, 𝐴(−1, −2) es un máximo. • Para la abscisa crítica 𝑥 = 1, 𝑓 ′ (1 −) = (1 −) 2 − 1 (1 −) 2 ⇒ (−) (+) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) < 0 𝑜 (−) 𝑓 ′ (1 +) = (1 +) 2 − 1 (2 +) 2 ⇒ (+) (+) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) > 0 𝑜 (+) Como 𝑓 ′ (𝑥) pasa de negativa a positiva en 𝑥 = 1 , entonces, B(1,2) es un mínimo. f) Monotonía de la función (intervalos de crecimiento y decrecimiento) • Crecimiento: se resuelve 𝑓 ′ (𝑥) > 0 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 2 − 1 𝑥 2 > 0 → 𝑥 2 − 1 > 0 Nota: Ambos miembros de la desigualdad inicial se han multiplicado por 𝑥 2 , lo cual al ser 𝑥 2 > 0 𝑜 (+), no se afecta el sentido del operador presente, lográndose con ello una simplificación de la desigualdad inicial. Continuando con el proceso, 𝑥 2 − 1 > 0 → (𝑥 − 1) (𝑥 + 1) > 0 Aplicando las combinaciones de signo al producto (𝑥 − 1) (𝑥 + 1) > 0; es decir, (+) 𝑦 (+) ∪ (−) 𝑦 (−), se tiene: 𝑥 − 1 > 0 ∩ 𝑥 + 1 > 0 ∪ 𝑥 − 1 < 0 ∩ 𝑥 + 1 < 0 𝑥 > 1 ∩ 𝑥 > −1 ∪ 𝑥 < 1 ∩ 𝑥 < −1 Recurriendo a la recta numérica, Se tiene: Intervalo de crecimiento de 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖(−∞, −1 ) ∪ (1, +∞) • Decrecimiento: se resuelve 𝑓 ′ (𝑥) < 0 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 2 − 1 𝑥 2 < 0 Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por 𝑥 2 , se obtiene: 𝑥 2 − 1 < 0 → (𝑥 − 1) (𝑥 + 1) < 0 Aplicando las combinaciones de signo al producto (𝑥 − 1) (𝑥 + 1) < 0; es decir, (+) 𝑦 (−) ∪ (−) 𝑦 (+), se tiene: 𝑥 − 1 > 0 ∩ 𝑥 + 1 < 0 ∪ 𝑥 − 1 < 0 ∩ 𝑥 + 1 > 0 𝑥 > 1 ∩ 𝑥 < −1 ∪ 𝑥 < 1 ∩ 𝑥 > −1 Construyendo estos intervalos en la recta numérica, Se observa que no hay intersección de los intervalos que se muestran en la recta numérica de la derecha (intersección nula o vacía), mientras que en la recta numérica del lado izquierdo sí hay intersección; de esta manera, se tiene: Intervalo de decrecimiento de 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖(−1, 1) g) Puntos de inflexión, si es que existen. Se resuelve: 𝑓 ′ ′(𝑥) = 0 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 2 − 1 𝑥 2 → 𝑓 ′ ′(𝑥) = 𝑥 2 (2𝑥) − (𝑥 2 − 1)(2𝑥) 𝑥 4 = 2𝑥 3 − 2𝑥 3 + 2𝑥 𝑥 4 𝑓 ′ ′(𝑥) = 2𝑥 𝑥 4 → 𝑓 ′ ′(𝑥) = 2 𝑥 3 Igualando a cero y resolviendo, 𝑓 ′ ′(𝑥) = 2 𝑥 3 = 0 → ¿ 2 = 0? Toda vez que esta igualdad es una contradicción o es falsa, se concluye entonces que la función 𝑓(𝑥) carece de puntos de inflexión, lo cual era de esperarse en virtud de que los puntos críticos: 𝐴(−1, −2) 𝑦 𝐵(1,2) son simétricos respecto del origen. h) Sentido de las concavidades. • Concavidad positiva o “hacia arriba” Se resuelve: 𝑓 ′ ′(𝑥) > 0 𝑓 ′ ′(𝑥) = 2 𝑥 3 > 0 Ya que el numerador es una constante positiva, aplica solamente la combinación de signos: (+) (+) > 0 Resolviendo, se tiene: 𝑥 3 > 0 → √𝑥 3 3 > √0 3 → 𝑥 > 0 Por lo tanto, 𝑓(𝑥) Es cóncava hacia arriba en el intervalo: 𝑥 𝜖(0, +∞) • Concavidad negativa o “hacia abajo” Se resuelve: 𝑓 ′ ′(𝑥) < 0 𝑓 ′ ′(𝑥) = 2 𝑥 3 < 0 Ahora, aplica únicamente la siguiente combinación de signos: (+) (−) < 0 → Dado que el numerador es una constante negativa, sólo basta resolver 𝑥 3 < 0; es decir, 𝑥 3 < 0 → √𝑥 3 3 < √0 3 → 𝑥 < 0 Por lo tanto, 𝑓(𝑥) Es cóncava hacia abajo en el intervalo: 𝑥 𝜖(−∞, 0) i) Gráfica de la función. Con los elementos o características de la función ya conocidos, es más que suficiente para construir un esbozo gráfico de la función propuesta. A continuación, se muestra tal gráfica misma que fue obtenida con el programa de geometría dinámica Geogebra. ************** Respecto al Rango de la función que quedó pendiente, puede verse en la gráfica que: 𝑅𝑓(𝑥) = 𝑦 𝜖 (−∞, −2) ∪ (2, +∞) ************ 2. Realice el análisis completo de la función 𝑓(𝑥) = − 𝑥 2 + 4 𝑥 determinando: a) Dominio y Rango b) Simetría c) Intersección con los ejes cartesianos d) Asíntotas vertical, horizontal u oblicua, según corresponda e) Puntos críticos, y clasifíquelos en máximos y mínimos, si es que existen. f) Monotonía de la función (intervalos de crecimiento y decrecimiento) g) Puntos de inflexión, si es que existen. h) Sentido de las concavidades. i) Gráfica de la función. Solución a) Dominio y Rango Por simple inspección, se observa que el polinomio del denominador de la función propuesta se anula en 𝑥 = 0; teniéndose que: 𝑓(0) = − 0 2 + 4 0 = ∞ Por lo tanto, el dominio de la función 𝑓(𝑥) es: 𝐷𝑓(𝑥) = ℝ − {0} Respecto al Rango, este queda pendiente toda vez que falta conocer algunas otras características de la función. b) Simetría 𝑓(𝑥) = − 𝑥 2+4 𝑥 𝑓(−𝑥) = − (−𝑥) 2 + 4 −𝑥 = − 𝑥 2 + 4 −𝑥 = 𝑥 2 + 4 𝑥 Puesto que 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥), entonces la función 𝑓(𝑥) no es “par”; es decir, no existe simetría con el eje Y. Ahora se tiene, −𝑓(−𝑥) = − 𝑥 2 + 4 𝑥 Puesto que 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥), resulta que la función 𝑓(𝑥) es “impar”; dicho de otra manera, la gráfica de 𝑓(𝑥) es simétrica respecto al origen. c) Intersección con los ejes cartesianos * Con el eje Y, se aplica 𝑦 = 𝑓(0) Toda vez que 𝑦 = 𝑓(0) = ∞, se tiene que la gráfica de la función propuesta no interseca al eje Y. * Con el eje X, sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 0 𝑦 = 𝑓(𝑥) = − 𝑥 2 + 4 𝑥 = 0 → −(𝑥 2 + 4) = 0 → 𝑥 2 + 4 = 0 → 𝑥 2 = −4 𝑥 = ± √−4 Toda vez que en el conjunto de los reales no está definida la raíz cuadrada de números negativos; es razón por la cual no existe ningún valor de 𝑥 𝜀 ℝ en donde la gráfica de la función 𝑓(𝑥) interseca al eje X. Concluyendo, no se tienen puntos de intersección de la función 𝑓(𝑥) con los ejes cartesianos. d) Asíntotas vertical, horizontal u oblicua, según corresponda *Asíntota Vertical (A.V.) *Como el polinomio del denominador se anula en 𝑥 = 0 , tal que 𝑓(0) = ∞, entonces existe una asíntota vertical (A.V.); cuya ecuación es: 𝐴. 𝑉. → 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 = 0 *Asíntota Horizontal (A.H.) Toda vez que ambos polinomios de la función racional son de diferente grado, se tiene que la función 𝑓(𝑥) carece de este tipo de asíntota. *Asíntota Oblicua (A.O.) Como en 𝑓(𝑥) el grado del polinomio del numerador (2) es una unidad mayor que el grado del polinomio del denominador (1), existe una Asíntota Oblicua cuya ecuación puede encontrarse utilizando límites o bien en forma práctica a partir del cociente que resulta al dividir ambos polinomios de la función racional; es decir, 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = − 𝑥 2 + 4 𝑥 = −𝑥 2 − 4 𝑥 Dividiendo ambos polinomios, A partir del cociente obtenido; se tiene: Ecuación de la asíntota oblicua (A.O): 𝑦 = −𝑥 (pendiente 𝑚 = −1 ordenada al origen 𝑏 = 0) e) Puntos críticos, y clasifíquelos en máximos y mínimos, si es que existen. Puntos críticos: Se resuelve 𝑓 ′ (𝑥) = 0 𝑓(𝑥) = − 𝑥 2 + 4 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = − [ 𝑥 (2𝑥) − (𝑥 2 + 4)(1) 𝑥 2 ] 𝑓 ′ (𝑥) = − ( 2𝑥 2 − 𝑥 2 − 4 𝑥 2 ) = − ( 𝑥 2 − 4 𝑥 2 ) Simplificando, se tiene: 𝑓 ′ (𝑥) = −𝑥 2 + 4 𝑥 2 Ahora, igualamos a cero para encontrar las abscisas críticas. 𝑓 ′ (𝑥) = −𝑥 2 + 4 𝑥 2 = 0 → −𝑥 2 + 4 = 0 → −𝑥 2 = −4 → 𝑥 2 = 4 De donde, 𝑥 = ± √4 = ±2 De aquí que, se tienen las abscisas críticas: 𝑥 = −2, 𝑥 = 2 Ahora, se sustituyen estos valores en la función original para determinar los valores de las correspondientes ordenadas críticas. 𝑦 = 𝑓(−2) = − (−2) 2 + 4 −2 = − 8 −2 = 4 𝑦 = 𝑓(2) = − (2) 2 + 4 2 = − 8 2 = −4 Con estos resultados, se tiene que la función tiene como puntos críticos: 𝐴(−2,4), 𝐵(2, −4), Al respecto, podemos ver que ambos puntos son simétricos respecto al origen, lo cual es consecuencia con el hecho de que la función 𝑓(𝑥) es impar. Puntos Máximos y mínimos. Con los elementos de la función hasta ahora conocidos; concretamente que se tiene una asíntota oblicua dada por una recta con pendiente negativa (-1) que pasa por el origen, que existe una asíntota vertical que coincide precisamente con el eje X, y de que son simétricos los puntos críticos encontrados, podemos entonces decir que uno de estos puntos es un máximo mientras que el otro punto es un mínimo; afirmaciones que pueden comprobarse formalmente, por ejemplo, aplicando el criterio de la primera derivada, como se detalla a continuación. Criterio de la primera derivada. • Para la abscisa crítica 𝑥 = −2, 𝑓 ′ (𝑥) = −𝑥 2 + 4 𝑥 2 → 𝑓 ′ (−2 −) = −(−2 −) 2 + 4 (−2 −) 2 ⇒ (−) (+) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) < 0 𝑜 (−) 𝑓 ′ (−2 +) = −(−2 +) 2 + 4 (−2 +) 2 ⇒ (+) (+) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) > 0 𝑜 (+) Puesto que 𝑓 ′ (𝑥) pasa de negativa a positiva en 𝑥 = −2 , entonces, 𝐴(−2,4) es un mínimo • Para la abscisa crítica 𝑥 = 2, 𝑓 ′ (2 −) = −(2 −) 2 + 4 (−2 −) 2 ⇒ (+) (+) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) > 0 𝑜 (+) 𝑓 ′ (2 +) = −(2 +) 2 + 4 (2 +) 2 ⇒ (−) (+) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) < 0 𝑜 (−) Como 𝑓 ′ (𝑥) pasa de positiva a negativa en 𝑥 = 2 , entonces, B(2, −4) es un máximo f) Monotonía de la función (intervalos de crecimiento y decrecimiento) • Crecimiento: se resuelve 𝑓 ′ (𝑥) > 0 𝑓 ′ (𝑥) = −𝑥 2 + 4 𝑥 2 > 0 → −𝑥 2 + 4 > 0 Nota: Ambos miembros de la desigualdad inicial se han multiplicado por 𝑥 2 , lo cual al ser 𝑥 2 > 0 𝑜 (+), no se afecta el sentido del operador presente, lográndose con ello una simplificación de la desigualdad inicial. Continuando con el proceso, −𝑥 2 + 4 > 0 → (2 − 𝑥) (2 + 𝑥) > 0 Aplicando las combinaciones de signo para el caso del producto señalado (𝑝𝑎𝑟𝑎 > 0); es decir, (+) 𝑦 (+) ∪ (−) 𝑦 (−), se tiene: 2 − 𝑥 > 0 ∩ 2 + 𝑥 > 0 ∪ 2 − 𝑥 < 0 ∩ 2 + 𝑥 < 0 −𝑥 > −2 ∩ 𝑥 > −2 ∪ −𝑥 < −2 ∩ 𝑥 < −2 𝑥 < 2 ∩ 𝑥 > −2 ∪ 𝑥 > 2 ∩ 𝑥 < −2 Recurriendo a la recta numérica, La recta numérica de la derecha muestra que no hay intersección de intervalos; mientras que la de la izquierda sí hay intersección, excluyendo a 𝑥 = 0 por no ser parte del dominio de 𝑓(𝑥). Por lo tanto, Intervalo de crecimiento de 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖(−2, 2) − {0} • Decrecimiento: se resuelve 𝑓 ′ (𝑥) < 0 𝑓 ′ (𝑥) = −𝑥 2 + 4 𝑥 2 < 0 → −𝑥 2 + 4 < 0 Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por 𝑥 2 , se obtiene: −𝑥 2 + 4 < 0 Continuando con el proceso, −𝑥 2 + 4 < 0 → (2 − 𝑥) (2 + 𝑥) < 0 Aplicando las combinaciones de signo correspondientes al producto señalado (𝑝𝑎𝑟𝑎 < 0); es decir, (+) 𝑦 (−) ∪ (−) 𝑦 (+), se tiene: 2 − 𝑥 > 0 ∩ 2 + 𝑥 < 0 ∪ 2 − 𝑥 < 0 ∩ 2 + 𝑥 > 0 −𝑥 > −2 ∩ 𝑥 < −2 ∪ −𝑥 < −2 ∩ 𝑥 > −2 𝑥 < 2 ∩ 𝑥 < −2 ∪ 𝑥 > 2 ∩ 𝑥 > −2 Recurriendo a la recta numérica, Considerando las intersecciones de intervalos en ambas rectas numéricas, se tiene: Intervalo de decrecimiento de 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖(−∞, −2) ∪ (2, +∞) g) Puntos de inflexión, si es que existen. Se resuelve: 𝑓 ′ ′(𝑥) = 0 𝑓 ′ (𝑥) = (−𝑥 2 + 4) 𝑥 2 → 𝑓 ′ ′(𝑥) = 𝑥 2 (−2𝑥) − (−𝑥 2 + 4)(2𝑥) 𝑥 4 = −2𝑥 3 + 2𝑥 3 − 8𝑥 𝑥 4 𝑓 ′ ′(𝑥) = −8𝑥 𝑥 4 𝑓 ′ ′(𝑥) = −8 𝑥 3 Igualando a cero y resolviendo, 𝑓 ′ ′(𝑥) = −8 𝑥 3 = 0 → ¿ −8 = 0? Como este resultado es una contradicción, se concluye entonces que no existen puntos de inflexión, lo cual era de esperarse toda vez que los dos puntos críticos se hayan en lados opuestos a la asíntota vertical de 𝑓(𝑥), cuya recta coincide precisamente con el eje Y. h) Sentido de las concavidades. • Concavidad positiva o “hacia arriba” Se resuelve: 𝑓 ′ ′(𝑥) > 0 𝑓 ′ ′(𝑥) = −8 𝑥 3 > 0 Única combinación de signos aplicable en este caso: (−) (−) > 0 → Puesto que el numerador es una constante negativa, sólo basta con resolver 𝑥 3 < 0, es decir, 𝑥 3 < 0 → √𝑥 3 3 < √0 3 → 𝑥 < 0 Por lo tanto, se tiene que: La función 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba en el intervalo: 𝑥 𝜖(−∞, 0) • Concavidad negativa o “hacia abajo” Se resuelve: 𝑓 ′ ′(𝑥) < 0 𝑓 ′ ′(𝑥) = −8 𝑥 3 < 0 Única combinación de signos aplicable en este caso: (−) (+) < 0 → Toda vez que el numerador es una constante negativa, sólo debe resolverse 𝑥 3 > 0; es decir, 𝑥 3 > 0 → √𝑥 3 3 > √0 3 → 𝑥 > 0 Por lo tanto, se tiene que: La función 𝑓(𝑥) es cóncava hacia abajo en el intervalo: 𝑥 𝜖(0, +∞) i) Gráfica de la función. Con los elementos o características de la función ya conocidos, es más que suficiente para construir un esbozo gráfico de la función propuesta. A continuación, se muestra tal gráfica misma que fue obtenida con el programa de geometría dinámica Geogebra. ************** Respecto al Rango de la función que quedó pendiente, puede verse en la gráfica que: 𝑅𝑓(𝑥) = 𝑥 𝜖 (−∞, −4) ∪ (4, +∞) Analizar totalmente la siguiente función: 3) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 4𝑥 + 2 𝑥 + 1 Dominio: El polinomio del denominador se anula en 𝑥 = −1 Por lo tanto, el dominio es: 𝐷𝑓(𝑥) = ℝ − {−1} **** Intersección con los ejes cartesianos: Con el eje Y: Se resuelve: 𝑓(0) se obtiene: 𝐴(0,2) Con el eje X: Se resuelve: → 𝑓(𝑥) = 0 2𝑥 2 − 4𝑥 + 2 𝑥 + 1 = 0 → 2𝑥 2 − 4𝑥 + 2 = 0 → 2 (𝑥 2 − 2𝑥 + 1) = 0 → 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0 → (𝑥 − 1) 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 1 Se obtiene el punto de intersección: 𝐵(1,0) Simetría o paridad: Puesto que se tienen exponentes pares e impares; así como al menos un término independiente, se concluye que la función propuesta no tiene paridad o simetría; es decir, que la gráfica de la función no es simétrica respecto del eje Y ni del origen Asíntotas: Asíntotas verticales: Puesto que para 𝑥 = −1 se tiene 𝑓(−1) = ∞, la función propuesta tiene una asíntota vertical cuya ecuación es: 𝐴. 𝑉: 𝑥 = −1 Asíntota horizontal: Toda vez que el grado del numerador es diferente del grado del polinomio del denominador, se concluye que la función dada no tiene asíntota horizontal. Asíntota oblicua: Como el grado del polinomio del numerador es mayor en la unidad que el grado del polinomio del denominador, se tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es de la forma: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Efectuando la división se obtiene: 2𝑥 2 − 4𝑥 + 2 𝑥 + 1 = 2𝑥 − 6 + 8 𝑥 + 1 La ecuación es entonces: 𝑨. 𝑶: 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟔 ***** Puntos críticos máximos y mínimos: Se resuelve: 𝑓´(𝑥) = 0 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 4𝑥 + 2 𝑥 + 1 = 2𝑥 − 6 + 8 𝑥 + 1 𝑓´(𝑥) = 2 − 8 (𝑥 + 1) 2 2 − 8 (𝑥 + 1) 2 = 0 → 2(𝑥 + 1) 2 − 8 (𝑥 + 1) 2 = 0 → 2(𝑥 + 1) 2 − 8 = 0 → 2𝑥 2 + 4𝑥 + 2 − 8 = 0 → 2𝑥 2 + 4𝑥 − 6 = 0 → (2𝑥 + 6) (𝑥 − 1) = 0 Cada factor se iguala a cero y se resuelve, obteniéndose: 𝑥 = −3, 𝑥 = 1 → abscisas críticas Ahora calculamos las ordenadas críticas: 𝑦 = 𝑓(−3) = 2(−3) 2 − 4(−3) + 2 −3 + 1 = −16 Punto crítico: 𝐶(−3, −16) 𝑦 = 𝑓(1) = 2(1) 2 − 4(1) + 2 1 + 1 = 0 Punto crítico: 𝐷(1,0) Para determinar cuál es máximo y cuál es mínimo, vamos a utilizar el criterio de la segunda derivada: 𝑓´(𝑥) = 2 − 8 (𝑥 + 1) 2 𝑓´´(𝑥) = 0 − (𝑥 + 1) 2 (0) − 8[2(𝑥 + 1)(1)] (𝑥 + 1) 4 𝑓´´(𝑥) = 16𝑥 + 16 (𝑥 + 1) 4 = 16(𝑥 + 1) (𝑥 + 1) 4 𝑓´´(𝑥) = 16 (𝑥 + 1) 3 Ahora, se sustituyen las abscisas críticas 𝑓´´(−3) = 16 (−3 + 1) 3 < 0 Por lo tanto, 𝐶(−3, −16) es un máximo. ***** 𝑓´´(1) = 16 (1 + 1) 3 > 0 Por lo tanto, 𝐷(1,0) es un mínimo ***** Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Se pueden los criterios: Crecimiento: 𝑓´(𝑥) > 0, Decrecimiento: 𝑓´(𝑥) < 0 Hacerlo: No obstante, podemos recurrir a una manera práctica, a partir de la posición relativa de ambos puntos críticos respecto de la asíntota vertical 𝑥 = −1 El punto máximo 𝐶(−3, −16) se encuentra a la izquierda del punto mínimo 𝐷(1,0); y entre las abscisas críticas de estos puntos se haya la asíntota vertical 𝑥 = −1 En base a esta información, se puede inferir la construcción de los siguientes intervalos: Crecimiento: 𝑥𝜀(−∞, −3) ∪ (1, +∞) Decrecimiento: 𝑥𝜀(−3, −1) ∪ (−1,1) Puntos de inflexión: Se resuelve 𝑓´´(𝑥) = 0 𝑓´´(𝑥) = 16 (𝑥 + 1) 3 → 16 (𝑥 + 1) 3 = 0 → 16 = (𝑥 + 1) 3 (0) → 16 = 0? Importante: Cuando se llega a un absurdo, una contradicción o a alguna proposición falsa, quiere decir que lo que se pretende determinar, ¡No existe! Por lo tanto, la función propuesta no tiene puntos de inflexión. Intervalos de concavidad Concavidad positiva: Se resuelve 𝑓´´(𝑥) > 0 𝑓´´(𝑥) = 16 (𝑥 + 1) 3 > 0 Aplica únicamente la combinación de signos: (+) (+) Resolviendo: (𝑥 + 1) 3 > 0 ⇒ 𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝑥 > −1 Por consiguiente, la función es cóncava hacia arriba en el intervalo: 𝑥 𝜀(−1, +∞) Concavidad negativa: Se resuelve 𝑓´´(𝑥) < 0 𝑓´´(𝑥) = 16 (𝑥 + 1) 3 < 0 Aplica únicamente la combinación de signos (+) (−) Resolviendo: (𝑥 + 1) 3 < 0 ⇒ 𝑥 + 1 < 0 ⇒ 𝑥 < −1 Por consiguiente, la función es cóncava hacia arriba en el intervalo: 𝑥 𝜀(−∞, −1) **** Rango Dadas las características obtenidas, se tiene que el rango de la función son todos los reales. Simbólicamente, se tiene: 𝑅𝑓(𝑥) = ℝ ***** Gráfica de la función. **** Analizar totalmente la siguiente función: 4) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 + 4𝑥 − 2 𝑥 + 1 Dominio: El polinomio del denominador se anula en 𝑥 = −1; en consecuencia, el dominio es: 𝐷𝑓(𝑥) = ℝ − {−1} Intersección con los ejes cartesianos: Con el eje Y: Se resuelve 𝑓(0) , obteniéndose: 𝐴(0, −2) Con el eje X: Se resuelve: → 𝑓(𝑥) = 0 −2𝑥 2 + 4𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0 → −2𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 0 → −2 (𝑥 2 − 2𝑥 + 1) = 0 → 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0 → (𝑥 − 1) 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 1 Se obtiene el punto de intersección: 𝐵(1,0) Simetría o paridad: Puesto que se tienen exponentes pares e impares; así como al menos un término independiente, se concluye que la función propuesta no tiene paridad o simetría; es decir, que la gráfica de la función no es simétrica respecto del eje Y ni al origen. Si se utilizan los criterios de paridad, se tiene: 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥), la función es par 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥), la función es impar Asíntotas: Asíntotas verticales: Puesto que para 𝑥 = −1 se tiene 𝑓(−1) = ∞, la función propuesta tiene una asíntota vertical cuya ecuación es: 𝐴. 𝑉: 𝑥 = −1 Asíntota horizontal: Toda vez que el grado del numerador es diferente del grado del polinomio del denominador, se concluye que la función dada no tiene asíntota horizontal. Asíntota oblicua: Como el grado del polinomio del numerador es mayor en la unidad que el grado del polinomio del denominador, se tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es de la forma: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Efectuando la división se obtiene: −2𝑥 2 + 4𝑥 − 2 𝑥 + 1 = −2𝑥 + 6 − 8 𝑥 + 1 La ecuación es entonces: 𝑨. 𝑶: 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟔 ***** Puntos críticos máximos y mínimos: Se resuelve: 𝑓´(𝑥) = 0 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 + 4𝑥 − 2 𝑥 + 1 = −2𝑥 + 6 − 8 𝑥 + 1 𝑓´(𝑥) = −2 + 8 (𝑥 + 1) 2 −2 + 8 (𝑥 + 1) 2 = 0 → −2(𝑥 + 1) 2 + 8 (𝑥 + 1) 2 = 0 → −2(𝑥 + 1) 2 + 8 = 0 → −2𝑥 2 − 4𝑥 − 2 + 8 = 0 → −𝟐𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟔 = 𝟎 → (−2𝑥 − 6) (𝑥 − 1) = 0 Cada factor se iguala a cero y se resuelve, obteniéndose: 𝑥 = −3, 𝑥 = 1 → abscisas críticas Ahora calculamos las ordenadas críticas: 𝑦 = 𝑓(−3) = −2(−3) 2 + 4(−3) − 2 −3 + 1 = 16 Punto crítico: 𝐶(−3,16) 𝑦 = 𝑓(1) = −2(1) 2 + 4(1) − 2 1 + 1 = 0 Punto crítico: 𝐷(1,0) Para determinar cuál es máximo y cuál es mínimo, vamos a utilizar el criterio de la segunda derivada: 𝑓´(𝑥) = −2 + 8 (𝑥 + 1) 2 𝑓´´(𝑥) = 0 − (𝑥 + 1) 2 (0) − 8[2(𝑥 + 1)(1)] (𝑥 + 1) 4 𝑓´´(𝑥) = −16𝑥 − 16 (𝑥 + 1) 4 = −16(𝑥 + 1) (𝑥 + 1) 4 𝑓´´(𝑥) = −16 (𝑥 + 1) 3 Ahora, se sustituyen las abscisas críticas 𝑓´´(−3) = −16 (−3 + 1) 3 > 0 Por lo tanto, 𝐶(−3, −16) es un mínimo. ***** 𝑓´´(1) = −16 (1 + 1) 3 < 0 Por lo tanto, 𝐷(1,0) es un máximo ***** Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Se pueden utilizar los criterios: Crecimiento: 𝑓´(𝑥) > 0, Decrecimiento: 𝑓´(𝑥) < 0 Hacerlo: No obstante, podemos recurrir a una manera práctica, a partir de la posición relativa de ambos puntos críticos respecto de la asíntota vertical 𝑥 = −1 Punto mínimo 𝐶(−3,16) está a la izquierda del punto máximo 𝐷(1,0), y se tiene la asíntota vertical 𝑥 = −1 Por lo tanto, se tienen los siguientes intervalos de crecimiento y decrecimiento: decrecimiento: 𝑥𝜀(−∞, −3) ∪ (1, +∞) Crecimiento: 𝑥𝜀(−3, −1) ∪ (−1,1) Puntos de inflexión: Se resuelve 𝑓´´(𝑥) = 0 𝑓´´(𝑥) = − 16 (𝑥 + 1) 3 − 16 (𝑥 + 1) 3 = 0 → −16 = (𝑥 + 1) 3 (0) → −16 = 0 ? ? Importante: Cuando se llega a un absurdo, una contradicción o a alguna proposición falsa, quiere decir que lo que se pretende determinar, ¡No existe! Por lo tanto, la función propuesta no tiene puntos de inflexión. Intervalos de concavidad Concavidad positiva: Se resuelve 𝑓´´(𝑥) > 0 𝑓´´(𝑥) = −16 (𝑥 + 1) 3 > 0 Aplica la combinación de signos (−) (−) (𝑥 + 1) 3 < 0 ⇒ 𝑥 + 1 < 0 ⇒ 𝑥 < −1 Por consiguiente, la función es cóncava hacia arriba en el intervalo: 𝑥 𝜀(−∞−) Concavidad negativa: Se resuelve 𝑓´´(𝑥) < 0 𝑓´´(𝑥) = −16 (𝑥 + 1) 3 < 0 Aplica únicamente la combinación de signos (−) (+) (𝑥 + 1) 3 > 0 ⇒ 𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝑥 > −1 Por consiguiente, la función es cóncava hacia arriba en el intervalo: 𝑥 𝜀(−1, +∞) Rango Dadas las características obtenidas, se tiene que el rango de la función son todos los reales. Simbólicamente, se tiene: 𝑅𝑓(𝑥) = ℝ Gráfica de la función.

...