Funciones algebraicas racionales e irracionales

Funciones algebraicas racionales e irracionales

Tipos de funciones: aquellas que se expresan como el cociente de dos polinomios: (P(x))/(Q(x)) donde Q(x) debe ser diferente de 0, para que el cociente esté determinado; esta función se llama Funciones Racionales. En el estudios de ellas nos interesan, particularmente, aquellos valores de x para los cuales el polinomio numerador P(x) o el denominador Q(x) se vuelvan cero.

Así mismo las funciones en las que la variable independiente aparece con exponente fraccionario o bien dentro de un radical; dichas funciones se llaman funciones irracionales

Función Algebraica racional

Una función algebraica racional (o simplemente función racional) es una función cuya Ecuación general es: f(x) (P(X))/(Q(X)) donde P(x) y Q(x) son polinomios, Q(x) ≠ 0.

Las gráficas de funciones racionales son muy interesantes ya que su variación hace que no tengan una forma determinada o única, otro elemento importante es que la función se indetermina cuando el denominador toma el valor de 0; resulta esencial:

Tener en consideración del dominio de la función.

Saber qué sucede alrededor de los valores de x que provocan que el polinomio del denominador se vuelva 0.

f(x)=(x+2)/(x^2-x-6)

El sustituir y evaluar valores para x se facilita si primero simplificas la función, siempre que ello sea posible. Para simplificar factoriza el denominador dado, entonces quedaría así:

f(x)=(x+2)/((x+2)(x-3))

En este momento debes tener claro el dominio de la función D ={x/x € Reales, x≠-2, x ≠3} lo cual también se puede expresar como: Dom£ : Reales –{-2, 3} Dando por sentado que x≠-2, se simplifica la expresión, entonces:

f(x)=(x+2)/((x+2)(x-3))=1/(x-3) Con x≠3

Ya sabemos que x no puede ser igual a 3, y como mientras más se aproxima la x a 3 a través de valores mayores, más grande es el valor de f(x) esto es la curva se dispara hacia arriba, mientras que, en cambio, cuando x se aproxima a 3 mediante valores menores, f(x) decrece, o sea que la curva se dispara hacia abajo, esto significa que hay una asíntota vertical en x=3.

El valor de x en el cual la gráfica de una función se interrumpe se llama discontinuidad; la discontinuidades puedes ser de dos tipos: si la gráfica se dispara hacia el infinito como en el punto x=3, a esto se le llama asíntota vertical; si la gráfica sólo termina antes del punto y empieza inmediatamente después de él, la discontinuidad se llama discontinuidad removible; el nombre se da ya que la discontinuidad es evitable si se cancela el término (x+2) en el numerador y el denominador entonces queda f(x)= 1/(x-3)

Entonces tenemos la siguiente gráfica:

Para determinar el dominio de la función, nos fijamos en las exclusiones del dominio, que resultaron evidentes cuando se factorizó el denominador.

El rango son todos los reales, excepto el 0 ( el eje x es asíntota horizontal).

Si se factoriza el denominador de la función, resulta evidente que existen dos asíntotas verticales.

Conclusión:

Si en una función c en lugar de x hace el denominador de f(x) igual a cero. Existen dos posibilidades:

F(c) tiene la forma (no cero)/cero, entonces f(C) es “infinitamente grande”, en valor absoluto y tendremos una asíntota vertical en x=c.

F(c) adopta la forma 0/0, entonces f(c) es indeterminado, y estamos frente a una discontinuidad removible.

Función Algebraica Irracional.

Una función algebraica es aquella en que la variable aparece dentro de un radical. (En lugar del radical puede ir un exponente fraccionario).

Una función tal como f(x)=2+√(x+4),

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