Funciones Algebraicas

Introducción

Una función algebraica en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x.

En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.

Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su rango".

En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. En ellas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales, racionales y las llamadas algebraicas explícitas.

Función algebraica

Son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) aplicadas a la función identidad, f (x) = x, y a la función constante, f (x) = k.

Dentro de las funciones algebraicas podemos nombrar a las funciones polinómicas, racionales e irracionales. Dichas funciones tienen una gran aplicación en la preparación de modelos que representan fenómenos reales, tales como la distancia recorrida por un móvil a velocidad constante, la compra de cierta cantidad de objetos a un precio unitario, el salario de un trabajador más su comisión, etc. La regla de correspondencia de la función polinómica es un polinomio.

Funciones Polinómicas

Son aquellas que no contienen raíces pares ni variables en el denominador. El dominio de esta función son todos los números Reales y se pueden escribir de las siguientes maneras: (que representa todos los reales) o como intervalo el cual indica que es desde el menos infinito hasta el más infinito.

Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +••• + an xn

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Función afín

Una función a fin cuya grafica es una línea recta que no pasa por el origen. Esta función es de la forma y=mx+b, donde m representa la pendiente de la recta y b representa el punto donde la recta corta el eje de ordenadas. Para graficar una función a fin debemos despejar y en la ecuación para luego sustituir valores de x, encontrando los correspondientes valores de y.

Función lineal

La función lineal corresponde a un polinomio de primer grado cuyo contradominio coincide con el dominio, o sea con R. Su gráfica sería una línea recta donde m representa la pendiente de ella, y k representa el punto donde ésta se intersecta con el eje y”. La función lineal se definiría entonces como una expresión de la forma: F(x)=mx + k.

Función constante

Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace x = 0. La función constante se define como: El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el codominio es k. La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x, y corta al eje y en y = k.

El criterio viene dado por un número real. f(x)= k. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Funciones polinómica de primer grado, f(x) = mx +n. Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Funciones cuadrática

Función cuadrática: Para trazar la gráfica de una función cuadrática es conveniente construir una tabla de valores, con por lo menos cuatro

valores, uno para el vértice, dos para los interceptos con el eje x y un cuarto para el intercepto con el eje y.

f(x) = ax² + bx +c

Siendo su gráfica una parábola

Funciones racionales

Son aquellas funciones que contienen variable en el denominador. El dominio de esta función son todos los números Reales menos los valores que hagan cero del denominador. Esto es porque si existiera un denominador cero la función seria indeterminada, ya que todo número dividido entre cero es indeterminado. El indeterminado también se puede definir como infinito, ya que el infinito (número muy grande o pequeño) no se puede definir.

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones irracionales

Son aquellas funciones que contienen raíces pares (raíz cuadrática, raíz cuarta, raíz sexta, etc). El dominio de esta función son todos aquellos valores que hacen que el subradical (lo que está dentro de la raíz), sea mayor o igual a cero. Esto es porque no existen valores reales de raíces pares de números negativos, dado que un número elevado a una potencia par siempre será positivo.

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Entre las funciones irracionales la más usual es la función raíz cuadrada:

Dominio y rango de las funciones

Dominio: Esta formada por los valores (números reales) para los cuales la función está definida.

El dominio de una función polinómica son todos los números reales. Se expresa como Dom f(x)= ℜ.

No tenemos que calcular nada.

La función existe desde x = - ∞ hasta x = + ∞.

El dominio también se puede expresar así: Dom f(x)= (- ∞, + ∞)

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