Funciones Con Pocos Datos: Polinómicas Y Racionales

DERIVE

8.1 FUNCIONES CON POCOS DATOS: POLINÓMICAS

Y RACIONALES

Considera la función f(x):=x^3-6x^2+9x. Introdúcela.

Halla su primera derivada con f’(x). No olvides que se trata del apóstrofe, ’, y no del acento, ´. Pulsa para resolver la ecuación f’(x)=0 y obtener posibles máximos o mínimos. Anótalos (x = 1 y x = 3).

Halla la segunda derivada con f’’(x). Pulsa para resolver la ecuación f’’(x)=0 y obtener los puntos de inflexión. Anótalos (x = 2).

Para hallar las ordenadas de los posibles máximos y mínimos, simplifica f (1) y f (3). ¿Cuál será el máximo y el mínimo? Asegúrate hallando f ’’( 1) y f ’’(3). Para hallar la ordenada del punto de inflexión, simplifica f (2). Para hallar los puntos de corte con los ejes, simplifica f (0) y resuelve f (x) = 0.

Con los datos obtenidos trata de esbozar la gráfica.

Introduce f(x) y pulsa para abrir la ventana de gráficos. Una vez abierta, vuelve a pulsar para representar la función. Usa los iconos y para centrar la pan-talla en la posición del cursor o en el origen, y pulsa o para ampliar o reducir la imagen en uno o ambos ejes.

En el menú Ventana elige la opción Mosaico vertical para visualizar gráficos y ex-presiones, simultáneamente.

Sitúa el cursor sobre el máximo y el mínimo, y comprueba que los valores que aparecen en la parte inferior de la ventana gráfica son los obtenidos. Si pulsas F3, el cursor salta a la gráfica (modo traza) y puedes recorrerla con las flechas del teclado. Pulsando de nuevo F3 se sale del modo traza.

En las funciones polinómicas (siempre continuas) las derivadas proporcionan la infor-mación más relevante, pues permiten calcular los máximos, mínimos y puntos de infle-xión, y detectar los intervalos de crecimiento y concavidad.

Practica

1. Introduce la función f(x):=x^3/(x^2-4). Representa [y=x^3/(x^2-4), y=x, x=2, x=-2]. Obtendrás la gráfica simultánea de la función y sus asíntotas verticales y oblicua. Usa el zoom en uno o ambos ejes si es preciso.

Halla los siguientes límites con DERIVE:

LIM(f(x), x, 2, 1) LIM(f(x), x, 2, -1) Asíntota vertical x = 2 y po-sición de la curva respecto a ella.

LIM(f(x), x, -2, 1) LIM(f(x), x, -2, -1) Asíntota vertical x = 2 y posición de la curva respecto a ella.

LIM(f(x), x, inf) LIM(f(x), x, -inf) No hay asíntota horizontal.

LIM(f(x)/x, x, inf) Pendiente de la asíntota obli-cua a = 1.

LIM(f(x)-x, x, inf) Término independiente de la asíntota oblicua.

En las funciones racionales los límites permiten hallar las posibles asíntotas. Anali-zando la situación de la curva respecto a ellas podemos esbozar la gráfica con gran aproximación.

2. Halla los posibles máximos o mínimos de la función f (x) de la práctica anterior. Para ello, introduce y resuelve con la ecuación f’(x)=0. Puedes utilizar para obtener una aproximación decimal de los valores de x. Compruébalo en la grá-fica.

DE LA GRÁFICA A LA EXPRESIÓN ANALÍTICA

3. Asigna cada de una de las siguientes funciones a su gráfica y compruébalo después representándolas.

Describe cada una de ellas con el menor número posible de elementos:

• –2x + 1 • 2x+1 • tg(x)

• (x + 1)/2 • x2 – 4 • 2x + 1

• (x + 1) • (x – 2) • (x – 3) • 9 – x2 • ln(|x|)

• |(x – 1) • (x – 2) • (x – 3)| • |x – 2| • ln(x – 3)

• (x – 1)2 • (x – 2)3 • |x2 – 4| • sen(x)

• (x – 1) • (x + 2) • (x + 3) • 2x • sen(2x)

• (x + 1) • (x – 2) • 2–x • –cos(x)

DE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA A LA GRÁFICA

4. Considera la primera gráfica del ejercicio anterior:

Asigna las gráficas siguientes a las funciones:

f (x)+1 f (x+1) 2f (x) f (2x) –f (x)

f (–x) | f (x)| f (| x |) f (x)+1 f (x+1)

Compruébalo introduciendo f(x):=(x+1)(x-2)(x-3) y representando las funciones pedi-das.

Para estudiar y representar una función conviene abordar varios aspectos.

8.2 ELEMENTOS A ESTUDIAR PARA LA REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN. CAMPO DE ESTUDIO

DOMINIO

Considera los casos más comunes: denominadores que se anulan y argumentos negativos en raíces o logaritmos.

DENOMINADORES QUE SE ANULAN

Estudia f(x):=(5/x^2-5x+6).

a) Para ello, introduce x^2-5x+6 y “resuelve” con . DERIVE asume =0, si no se especifica. Los valores resultantes anulan el denominador.

b) Resalta con el cursor x^2-5x+6 y represéntalo con . Observa los puntos en que la curva corta al eje OX. Sitúa el cursor sobre ellos y observa los valores de x en la parte inferior de la ventana.

c) Por último, puedes representar directamente f (x) y comprobar efectivamente los puntos en los que no está definida.

Practica

5. Repite la práctica con el ejercicio propuesto 1 en la página 186 del libro.

6. ¿Para qué valores de x no está definida la función f(x):=x/sinx? Compruébalo.

7. Resuelve con la ecuación ax^2+bx+c=0. ¿Reconoces el resultado?

8. Halla los valores que anulan las siguientes expresiones:

3x^3-5x+1 Aproxima el resultado. ¿Cuántas soluciones hay?

3x^3-5x+4 ¿Cuántas soluciones reales hay?

x^5+2x-1 DERIVE no puede resolverlo algebraicamente. Elige Re-solver - Numéricamente o pulsa CTRL+May+N. De-bes introducir un intervalo para buscar las raíces. Especifi-ca entre –10 y 10. Representa la función para comprobar el resultado.

RAÍCES DE EXPRESIONES NEGATIVAS

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