Funciones Simetricas

FUNCIONES SIMÉTRICAS

Una función puede ser simétrica respecto del eje de ordenadas o respecto del origen. Se denominarán funciones pares o impares, respectivamente.

1) FUNCIÓN PAR: Si una función f satisface que f(-x) = f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función par.

Ejemplo 1: Comprobar que f(x) = x2 es par.

f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x)

Como f(-x) = f(x), entonces la función es par!

Gráficamente:

En la gráfica vemos cómo a cada valor de x y -x le corresponde el mismo valor de y.

La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y

Ejemplo 2: Comprobar si la función es par:

Gráficamente:

2) FUNCIÓN IMPAR: Si una función f satisface que f(-x) = - f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función impar.

Ejemplo 1: Demostrar que f(x) = x3 es una función impar.

f(-x) = (-x)3 = - x3 = - f(x)

Como f(-x) = - f(x), entonces la función es impar!

Gráficamente:

En la gráfica vemos cómo si a un valor de x le corresponde y, al valor de -x le corresponde -y.

Ejemplo 2: Comprobar si la función es impar:

Gráficamente:

La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen.

OTROS EJEMPLOS:

Determinar la simetría de las funciones:

1) f(x) = 3x – x3

Simétrica respecto al origen

2) f(x) = x4 – 2x2 - 8

Simétrica respecto al eje de ordenadas

3) f(x) = x 6 + x 4 − x 2

f(−x)= (−x) 6 + (−x) 4 − (−x) 2 = x 6 + x 4 − x 2 = f(x)

Simétrica respecto al eje de ordenadas

4) f(x) = x5 + x3 − x

f(−x)= (−x)5 + (−x) 3 − (−x) = −x5 − x 3 + x = −f(x)

Simétrica respecto al origen

5) f(x)= x |x|

f(−x) = −x |−x|= −x |x|= −f(x)

Simétrica respecto al origen

6) f(x) = |x| − 1

f(−x) = |−x| − 1= |x| − 1 = f(x)

Simétrica respecto al eje de ordenadas

7)

Simétrica respecto al eje de ordenadas

8)

Simétrica respecto al origen

9)

Simétrica respecto al eje de ordenadas

10)

...