Funciones Variables

CAPITULO II

2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

2.1 Dominio y gráfica de funciones

En esta sección estudiaremos funciones reales de varias variables reales. Cantidades de la vida cotidiana o económica o ciertas cantidades físicas dependen de dos o más variables. El volumen de una caja, V, depende del largo, x, del ancho, y, y de z la altura de la caja. Los costos de una empresa que fabrica dos tipos de artículos dependen de q1 la cantidad de artículos de tipo I y q2 la cantidad de artículos de tipo II que produce. La temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión.

Veamos la definición formal de una función real de dos variables

Observación: Cuando tenemos una función de dos variables se suele utilizar z para representar los valores de la función La variable z es la variable dependiente y x y y las variables independientes.

Normalmente no se específica cual es el dominio de la función. Cuando éste es el caso tenemos que considerar el dominio implícito. El dominio implícito de una función de dos variables es el conjunto más amplio de (x, y) donde tiene sentido evaluar la fórmula, y el resultado es un número real. Muchas veces este dominio se representa gráficamente. En el caso de dos variables la representación es una región en el plano

identificamos como una parábola abriendo hacia abajo y con vértice en (0,4). Para determinar la región completamente podemos proceder de dos maneras. Primer procedimiento: Es claro que nuestra región es el conjunto de puntos (x,y) que satisface la desigualdad Este conjunto lo podemos ver como la unión de todas las curvas

Entre ellas están y todas las intermedias y que están por encima de éstas. Haciendo el gráfico de todas estas curvas podemos visualizar el dominio de la función, vea la figura a la derecha.

Segundo procedimiento: Una vez que hemos establecido que el dominio es una de las dos regiones del plano limitada por la curva podemos tomar un punto de prueba en el plano que no esté en la curva.

Claramente (0,0) no está sobre la curva. Evaluamos la desigualdad en este punto, si satisface la desigualdad entonces la región que contiene el punto de prueba es el conjunto solución, esto es, es el gráfico del dominio de la función, si no satisface la desigualdad entonces el conjunto solución a la desigualdad es la otra región.

Como no se satisface entonces el dominio es la región limitada por la curva que no contiene el (0,0), como efectivamente ya deducimos con el otro procedimiento, vea la figura como efectivamente está rayada la región que no contiene el punto (0,0).

c) La evaluación de funciones se hace de manera similar al caso de funciones de una sola variable. Por ejemplo para obtener el valor f (2,0) sustituimos el valor de x por 2 y el de y por 0. Así

Efectivamente la función no está definida en (1,1). Vea el gráfico dado en b) y chequee que efectivamente este punto no está en el dominio.

Remarcamos que con el primer procedimiento demostramos que la solución de una desigualdad en dos variables tiene como representación gráfica a una de las dos regiones delimitadas por la curva dada por la igualdad. El segundo procedimiento es más expedito en determinarla.

En ocasiones nos referiremos al dominio de una función como su representación gráfica, recuerde que realmente el dominio es un conjunto de pares ordenados que pueden ser representados en el plano.

Ejemplo 2.- Encuentre el dominio de la siguiente función y represéntelo gráficamente.

Solución: a) Para que la función esté bien definida y sea un número real se tiene que cumplir que entonces:

Sabemos que la representación gráfica de esta región del plano es un semiplano por ser una desigualdad lineal. Para determinar el semiplano rápidamente, primero graficamos la recta punteada pues los puntos sobre la recta no satisface la desigualdad.

luego tomamos un punto de prueba fuera del la recta, si este punto satisface la desigualdad el semiplano es donde está este punto, en caso que no se cumpla la desigualdad el conjunto solución es el otro semiplano.

El punto escogido es de nuevo (0,0) porque está fuera de la curva Como el punto (0,0) satisface la desigualdad entonces el dominio de la función es el semiplano que contiene el origen. De nuevo insistimos, se ha dibujado la recta

en forma punteada para indicar que ella no pertenece al dominio de la función.

b) Para que la función esté bien definida y sea un número real se tiene que cumplir que

La primera restricción es todo el plano salvo la recta

La segunda restricción es el semiplano donde la variable x es no negativa, esto es el semiplano a la derecha del eje x . Buscamos la intersección o parte común de estos dos subconjuntos de R2 para determinar el dominio de la función

Ejercicio de desarrollo: Sea a) Calcular el dominio de f

b) Represéntelo gráficamente; c) Encuentre

A veces es conveniente representar la función geométricamente. En el caso de una sola variable teníamos una representación geométrica de la función en el plano. Ella era una curva. En el caso de una función en dos variables, la representación de la función será en el espacio, obteniendo en este caso una superficie como representación.

Ejemplo 3.- Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones:

Solución

a) Graficamos la ecuación que corresponde a un plano, con intersecciones con los ejes x, y y z en 2,1 y 2 respectivamente.

b) Graficamos la ecuación ella es la mitad de la esfera

con coordenada z positiva

Ejercicio4:

a. Hallar el dominio de la función

RESOLUCIÓN. Su dominio, claramente, será , es decir, todo el plano menos la recta y = 0.

b. Determinar el dominio de la función

RESOLUCIÓN. Es el conjunto es decir, todo el plano menos el origen de coordenada

Ejercicio 5: 1. Dada la función

a) Determine el dominio de la función y dibuje un gráfico de éste.

b) Encuentre y grafique las curvas de nivel, para

Solución.

a) Demuestre que

LIMITE DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Definición

Sea una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en , excepto quizás en el punto , y sea L un número real. Entonces,

si para cada existe

...