Función Afín

GUÍA PSU FUNCIÓN LINEAL

Función Afín

Las variables x e y están relacionadas por una función afín si satisfacen una ecuación de tipo y = mx + n, en la cual m y n son constantes.

Concepto de Recta

Una recta es la representación gráfica de una función de primer grado. Toda función de la forma y = ax + b de IR en IR representa una linea recta.

Se denomina a x variable independiente ya que puede tomar cualquier valor, mientras que y se llama variable dependiente, ya que su valor está determinado por el valor que tome x.

Si un par de valores (x,y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo: El punto (7,2) satisface la ecuación y = x - 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 - 5 lo que resulta verdadero.

La ecuación de la recta puede ser representada en dos formas:

Forma General: ax + by + c = 0 Forma Principal: y = mx + n

Pendiente de una Recta

En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.

La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7).

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea

Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

que también se puede expresar como;

Ejemplo:

Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4)

y - 2 = x – 1 y= x+1

Ecuación de la recta dado punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por:

Pero; luego reemplazando se obtiene:

despejando, obtenemos que: y - y1 = m(x - x1)

Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendiente -4 y que pasa por el punto (5,-3)

y - y1 = m(x - x1) y - (-3) = -4(x - 5) y + 4 = -4x + 20

Luego la ecuación pedida es 4x + y - 16 = 0.

Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares

Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición distintos, o sea

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,

Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2; n1 distinto a n2

Ejemplo: Las rectas y = 4x + 5 ; y = 4x - 2 son paralelas.

Dos rectas son coincidentes cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición iguales, o sea

L1: y = m1x + n1

L2: y = m2x + n2,

Entonces L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1 = n2

Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1, o sea

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,

Entonces L1  L2 sí y sólo si m1• m2 = -1

Ejemplo: L1: y = -2x + 3 L2: y = 0,5x – 4 Entonces L1  L2 ya que -2 • 0,5 = -1

EJERCICIOS

1. En la función lineal 3y = -6x + 1, el valor de la pendiente es:

a) -6 b) -2 c) 1/3 d) 1 e) 3

2. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-4) y es paralela con la recta x + 5y – 3 = 0, es:

a) –x+y+5=0 b) x+5y+19=0 c) x+y+3=0 d) –5x+y+9=0 e) x+5y+21=0

3. La ecuación de la recta que pasa por el punto (5,6) y que es paralela con la recta que une los puntos (-4,0) y (1,-6) es:

a) –5x+6y=11 b) 6x+5y=60 c) -6x+5y=0 d) –5x-6y=0 e) y-2x=-4

4. El perímetro del triángulo cuyos vértices son (3,0); (3,4) y (0,4), es:

a) 5 b) 6 c) 12 d) 16 e) 25

5. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta 3x + 2y – 4 = 0

a) (0,2) b) (2,2) c) (-2,2) d) (0,-2) e) (1,-1)

6. La pendiente de la recta que pasa por los puntos P(6,-2) y Q(-8,4), es:

a) -7 b) –7/3 c) -1 d) –3/7 e) –1/7

7. Determinar el valor de K de modo que el punto (4,-3) pertenezca a la recta Kx – y = -2.

a) K = -5/4 b) K = -2/3 c) K = -2/7 d) K = 1/4 e) K = 4

8. Dadas las rectas L1: y = Kx-3 y L2: y = 2x – 4K. Determinar el valor de K para que L1//L2.

a) K = 2 b) K = 4/3 c) K = 3/4 d) K = -2 e) K = -3

9. Determinar el valor de K para que las rectas y + 3 = Kx y 2x = -4K – y sean perpendiculares.

a) K = 3/4 b) K = 1/2 c) K = -1/2 d) K = –4/3 e) K = -2

10. Determina el coeficiente de posición de la función 4x – 3y – 5 = 0

a) 4 b) 4/3 c) –5 d) -3 e) –5/3

ALTERNATIVAS

1.

Alternativa A: Incorrecta. El coeficiente de x es la pendiente, siempre y cuando esté despejada y, no siendo este el caso.

Alternativa B. CORRECTA. Al despejar y se obtiene que , entonces m = -6/3,

...