Fórmula De Herón

Herón de Alejandría vivió hacia el siglo III a. de C. Son conocidas varias obras suyas, pero se le recuerda sobre todo por la llamada fórmula de Herón, que nos permite calcular el área de un triángulo conocidos los tres lados. No es necesario por tanto conocer la altura ni ninguno de los ángulos. Si llamamos s al semiperímetro y a, b, c a los tres lados:

La demostración de Herón es realmente sorprendente. Combinando elementos geométricos sencillos llega a construir una de las demostraciones más ricas y elegantes de toda la matemática. Esta demostración puede verse en la Gacetilla Matemática ( http://www.arrakis.es/~mcj ). Presentamos aquí otra más moderna basada en el teorema del coseno.

Tenemos pues que cos()=(a2+c2-b2)/(2ac), y como sen2()=1-cos2() entonces:

o lo que es lo mismo

Teniendo en cuenta que el numerador es una diferencia de cuadrados y el denominador un cuadrado obtenemos:

sen() = raíz[(2ac-(a2+c2-b2))*(2ac+(a2+c2-b2))]/(2ac) = raíz[(b2-(a-c)2)*((a+c)2-b2)]/(2ac)

Sustituyendo ahora en la fórmula del área, tenemos que A = raíz[(b2-(a-c)2)*((a+c)2-b2)]/4 y utilizando de nuevo la descomposición de la diferencia de cuadrados como suma por diferencia, nos queda:

Finalmente, introducimos el 4 dentro de la raíz quedando 16, y si observamos que (b+a-c)/2 = (s-c)/2, y que (b-a+c)/2 = (s-a)/2 y así sucesivamente, llegamos a la fórmula final:

q.e.d.

Una demostración basada en geometría sintética y en una buena dosis de ingenio fue publicada por el gran Leohard Euler en el libro Variae demonstrationes geometricae (1747). Pincha en este vínculo para ver esta magnífica demostración (en breve).

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