GUÍA DE FLEXIBILIDAD CURSO DE MATEMÁTICAS VI

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Nombre del curso

Matemáticas VI

Peraca (periodo académico)

Área Básica

Matemáticas

Área integrada

N.A.

Momento de aprendizaje

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Intermedio

Final

¿Qué competencias voy a Desarrollar?

Determina situaciones en donde la aleatoriedad está implicada, empleando conceptos de la teoría básica de la probabilidad, en pro de mejorar sus habilidades para la toma de decisiones.

¿Cuáles son los resultados de aprendizaje?

Con el desarrollo de esta guía se espera que el estudiante realice un acercamiento y posterior manejo de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad para así mejore sus habilidades para la toma de decisiones basada en el análisis de información objetiva.

¿Qué recursos bibliográficos debo consultar para el aprendizaje?

Revise con detenimiento la sección 3 (Descripción Temática) de este documento. Ahí encontrará la información necesaria para realizar las actividades propuestas.

¿Cómo puedo desarrollar mi proceso de aprendizaje?

Para desarrollar de la mejor manera el proceso de aprendizaje debe realizar la lectura y estudio autónomo de esta guía, siguiendo los ejemplos que se muestran a lo largo de la misma. También puede consultar recursos bibliográficos adicionales en libros de texto o disponibles en internet. Recuerde que puede comunicarse con el tutor encargado haciendo uso de los diferentes canales de comunicación.

Recuerde hacer conscientemente las actividades de esta guía y seguir practicando por su cuenta. Así podrá garantizar un proceso de aprendizaje exitoso.

 ¿Cuál es el contenido curricular que voy a aprender?

Estimado(a) estudiante,

Esta guía ha sido diseñada con el propósito de orientar su proceso de aprendizaje a partir de diferentes temáticas y material de apoyo, los cuales servirán para el desarrollo de actividades durante este momento académico.

Los temas que abordaremos son:

Tema 1: Eventos aleatorios.

Tema 2: Cálculo de probabilidades.

Tema 3: Técnicas de conteo.

Comencemos…

Tema 1: Eventos aleatorios

Cuando hablamos de probabilidad pensamos casi que automáticamente de la posibilidad de que ocurra algún suceso. En la informalidad hablamos en términos de que algo puede ser muy probable, o que es probable, o que es posible que ocurra, o todo lo contrario, que sea imposible. Lo que aprenderemos es esta guía son algunos conceptos desde la matemática que nos permite dar más formalidad a la probabilidad, y que nos permiten ser mejores a la hora de argumentar y tomar decisiones.

Los primeros conceptos que debemos tener claros son los siguientes.

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1. Experimento aleatorio: Un experimento aleatorio es cualquier suceso del cual, a pesar de saber cuáles son sus posibles resultados, no se tiene certeza de su resultado final. Por ejemplo, al lanzar un dado, sabemos que puede caer un número del 1 al 6, pero no podemos saber con anterioridad cual será el resultado.

1. Espacio muestral: El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados que se pueden obtener. Por ejemplo, si el experimento aleatorio es lanzar un dado de seis caras entonces su espacio muestral es el conjunto .[pic 3]

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1. Evento aleatorio: Un evento aleatorio es un subconjunto del espacio muestral de un experimento. Para simbolizar los eventos utilizamos letras mayúsculas. Por ejemplo, si volvemos con el experimento de lanzar un dado de seis caras, un evento es que salga un número par, que lo podemos simbolizar con la letra P. Es un evento ya que las opciones de que salga un numero par es el conjunto , y si observas con detenimiento, este conjunto P está contenido en el espacio muestral.[pic 5]

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Tema 2: Cálculo de probabilidades

Ya sabiendo que es un evento aleatorio podemos hablar de probabilidad, más específicamente de como calcular valores de probabilidad para un evento aleatorio.

La probabilidad de que un evento ocurra se puede expresar por medio de un numero entre 0 y 1, siendo 0 la probabilidad de un evento imposible y 1 la probabilidad de un evento seguro.

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Para calcular valores de probabilidad podemos tener en cuenta los siguientes enfoques.

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1. Enfoque subjetivo: Cuando le asignamos el valor de probabilidad a un evento a partir de nuestra experiencia o con base de información que tengamos a la mano (pero si hacer ningún tipo de cálculo numérico) estamos utilizando este enfoque. Por ejemplo, podríamos decir que la probabilidad de que ganemos en un juego de póker es de 0.9, porque casi siempre ganamos cuando jugamos. Notemos que en este ejemplo estamos dando un valor de probabilidad a partir de nuestra experiencia como jugadores de póker. Usualmente las probabilidades bajo este enfoque no son del todo reales.

1. Enfoques objetivos: Cuando le asignamos a un evento un valor de probabilidad a partir de un modelo matemático (una fórmula o una función matemática, por ejemplo) estamos utilizando un enfoque objetivo. En esta guía de aprendizaje revisaremos dos enfoques objetivos: el enfoque clásico y el enfoque frecuentista.[pic 9]

1. Enfoque clásico: Este enfoque parte del hecho que en un experimento todos sus posibles resultados tienen la misma probabilidad. Por ejemplo, cuando lanzamos un dado sin carga en algunas de sus caras, cada posible resultado tiene el mismo valor de ocurrir. Si el dado ha sido cargado en algunas de sus caras ya no se cumpliría esta característica. Para calcular la probabilidad bajo este enfoque utilizamos la siguiente fórmula.

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Ejemplo: Queremos saber cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado de seis caras nos salga un número par.

Necesitamos saber cuántos resultados favorecen al evento (que salga un número par) y el total de resultados posibles del experimento (lanzar un dado de seis caras). Sabemos que:

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Calculemos la probabilidad de que salga un número par. Es decir, calculemos la división

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Es decir que hay una probabilidad de 0,5 de sacar un número par al lanzar un dado de seis caras.

1. Enfoque frecuentista: Este enfoque se basa en el cálculo de frecuencias relativas, teniendo en cuenta las veces que sucedió un evento en el pasado en relación con un número de observaciones realizadas. Para calcular un valor de probabilidad bajo este enfoque tenemos en cuenta la siguiente fórmula.

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Ejemplo: Se quiere saber que tan probable es ver un taxi en una determinada calle de la ciudad. Para saber esto se hizo observación del tráfico en dicha calle por una hora y se obtuvieron los siguientes datos: en total pasaron 108 vehículos, de los cuales 34 era carros particulares, 26 eran motos, 27 eran buses y 21 eran taxis. Con estos datos podemos calcular un valor de probabilidad de que pase un taxi en esa calle. Sabemos que el número de veces que ocurrió el evento es 21, y el numero de observaciones que se hicieron es 108. Por lo tanto, la probabilidad del que pase un taxi, según las observaciones realizadas es de

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Tema 3: Técnicas de conteo

A la hora de calcular probabilidades es útil poder enumerar la cantidad de elementos que hay en un conjunto (como por ejemplo, el espacio muestral de un evento) o el número de posibles formas en las que se puede dar un experimento aleatorio o un evento. Para hacer esta tarea más fácil utilizaremos las técnicas de conteo. Las técnicas de conteo son maneras de enumerar elementos si necesidad de tener que listarlos; usualmente se utilizan operaciones matemáticas para calcular el numero de elementos que hay en un conjunto o el número de posibles formas en las que se puede dar un experimento aleatorio o un evento. Veamos algunas técnicas.

1. Principio fundamental de conteo (principio multiplicativo): Hay una forma de contar las posibles formas de hacer dos o más tareas al mismo tiempo. Lo únicamente que se debe hacer es multiplicar el número de formas que se puede hacer cada una de las tareas.

Ejemplo: Supongamos que queremos saber cuántas posibles formas podemos escoger un pantalón y una camiseta. Veamos esto con más detalle. Si tenemos 5 camisetas y 3 pantalones, ¿Cuántas posibles mudas puedo ponerme?

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Si hacemos todas las posibles combinaciones podemos ver que en total son 15 posibles mudas.

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Hacer el listado puede ser un proceso largo para saber cuántas posibilidades hay. Pero podemos hacer una operación matemática para saber cuántas posibilidades hay.

Simplemente basta con multiplicar el número de camisetas por el número de pantalones.

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Ejemplo: Hay 10 tarjetas numeradas rojas, 8 tarjetas numeradas azules y 5 tarjetas numeradas verdes. Se debe elegir una de cada color. ¿De cuantas maneras se puede hacer esta elección?

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Dependemos de 3 eventos: elegir una tarjeta roja, otra azul y otra verde. Por lo tanto, debemos multiplicar las tres cantidades para saber el total de posibles formas que hay para hacer la elección.

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Es decir que hay 400 formas de hacer la elección de las tres tarjetas

1. Principio aditivo: Si se deben llevar a cabo una acción la cual tiene varias formas posibles de llevarse a cabo, entonces para calcular todas las posibles formas en las que se puede realizar la acción sumamos la cantidad de formas posibles en las que se puede realizar la acción.

Ejemplo: Imagina que queremos leer un libro de la biblioteca publica de la ciudad. Podemos elegir entre tres géneros: ficción, misterio o juvenil. La biblioteca tiene disponible 32 libros de ficción, 45 de misterio y 37 de juvenil. En total tendríamos 114 opciones entre las que podemos escoger. Aquí hemos utilizado el principio aditivo para calcular el número de posibles formas de elegir un libro.

Ejemplo: Juan quiere viajar a Medellín desde Bogotá. Puede irse en flota o en avión. Si se va en flota puede escoger entre 10 empresas que ofrecen el servicio. Si se va en avión puede escoger entre 5 aerolíneas. Así, Juan tendría 15 posibles formas para realizar su viaje.

1. Permutaciones y combinaciones: Pensemos en colecciones de objetos, los cuales podemos ordenar. Las permutaciones y las combinaciones, en matemáticas, son las posibles agrupaciones que se pueden realizar de dichos objetos, teniendo en cuenta el orden en que las agrupemos. La diferencia entre permutaciones y combinaciones radica en el orden en el que se coloquen estos objetos. 

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Por ser técnicas de conteo, vamos a tener formulas para calcular el número de permutaciones o combinaciones dadas ciertas condiciones. Para poder realizar correctamente los cálculos de permutaciones y de combinaciones debemos considerar una operación llamada factorial.

El factorial de un número natural es el producto de dicho número con todos sus antecesores, exceptuando el 0. Para simbolizar el factorial de un número se escribe dicho número seguido del símbolo .[pic 21]

Por ejemplo, el factorial de 3 sería:

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El factorial de 7 sería:

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Como caso especial, se tiene que [pic 24]

En la siguiente tabla se muestran los resultados de los primeros 12 factoriales. Puedes utilizar una calculadora científica para calcular de manera más sencilla el factorial de un número. Usualmente, solo debes escribir el número al cual le quieres calcular el factorial y buscar el botón con el signo .[pic 25]

Ya teniendo claro que es el factorial veamos detalladamente cada técnica de conteo.

1. Permutaciones: Cuando queremos ordenar elementos de un conjunto teniendo en cuenta el orden en que se organizan estamos haciendo una permutación.

Ejemplo: Queremos crear una clave utilizando las letras A, B y C. Como en una clave si es importante el orden en el que escribimos las letras entonces en este caso realizaremos todas las permutaciones. A continuación, te mostramos todas las permutaciones posibles.

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Para saber el número de permutaciones podemos utilizar la siguiente fórmula:

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En esta fórmula las letras significan:

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[pic 32]

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Ejemplo: Se tiene el conjunto . ¿Cuántas permutaciones diferentes se pueden formar tomando grupos de 2 elementos?[pic 34]

Para esto se sabe que

 (Puesto que el conjunto A tiene 4 elementos)[pic 35]

 (Puesto que se quieren ordenar grupos de 2 elementos)[pic 36]

Hagamos el cálculo sustituyendo las variables

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Por lo tanto, se pueden realizar 12 permutaciones.

1. Combinaciones: Cuando estamos organizando los elementos de un conjunto sin importar el orden en que los colocamos estamos realizando una combinación.

Ejemplo: Hay un grupo de 4 enfermeras ¿Cuántos grupos de 2 enfermeras se pueden hacer?

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Para esto tengamos en cuenta que el orden en el que se escojan las enfermeras no importa, por lo tanto, debemos realizar las combinaciones posibles. Veamos todas las posibles combinaciones que se pueden realizar.

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Para saber el número de combinaciones podemos utilizar la siguiente fórmula:

[pic 41]

En esta fórmula las letras significan:

[pic 42]

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Ejemplo: Hay un grupo de 7 enfermeras ¿Cuántos grupos de 3 enfermeras se pueden hacer?

Para esto tengamos en cuenta que el orden en el que se escojan las enfermeras no importa, por lo tanto, nos sirve la fórmula de combinaciones. Sabemos que

 (Puesto que en total hay 7 enfermeras)[pic 45]

 (Puesto que se quiere hacer grupos de 3 elementos)[pic 46]

Hagamos el cálculo sustituyendo las variables

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Es decir que se pueden armar 35 grupos diferentes.