Geometría Analítica Temas

UNIDAD I PERFIL MATEMATICO LA RECTA

1.1 Distancia entre 2 puntos y distancia media

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

DISTANCIA MEDIA

en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.

Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

El modo de obtener geométricamente el punto medio de un segmento, mediante regla y compás, consiste en trazar dos arcos de circunferencia de igual radio, con centro en los extremos, y unir sus intersecciones para obtener la recta mediatriz. Esta «corta» al segmento en su punto medio.

Dado un segmento, cuyos extremos tienen por coordenadas:

el punto medio tendrá por coordenadas:

.

1.1.1 Representación grafica que expresa la distancia entre 2 puntos de una recta en contexto

Una recta en el plano cartesiano puede presentar cualquiera de las siguientes formas:

1.1.2 Representación grafica del punto medio de una recta en contexto

En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas). La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.

1.1.3 Calculo de la distancia entre 2 puntos y punto medio en forma analítica

Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar puntos sobre un plano, podemos calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano conociendo sus coordenadas.

La fórmula

Sea un sistema de coordenadas cartesianas xy, y sean A y B dos puntos del plano, de coordenadas (x, y) e (x', y'), respectivamente.

La distancia entre esos dos puntos A y B viene dada por la fórmula:

Aplicaciones

Determinar si cuatro puntos dados forman un cuadrilátero y de qué tipo

Situamos los puntos A(-2, -3), B(-1, 3), C(4, -2) y D(5, 4) en un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.

Punto medio en forma analítica

1.1.4 La recta como lugar geométrico

Es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.

Ejemplos de lugares geométricos en el plano:

 El lugar geométrico de los puntos que equidistan a dos puntos fijos y (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que se interseca perpendicularmente con un segmento en su punto medio ( ).

 La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a las rectas anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.

 Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).

1.2 Paralelismo, perpendicularidad y pendiente de la función lineal

Paralelismo

Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y ésto ocurre cuando sus vectores de dirección son iguales o proporcionales.

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes coinciden: .

Vimos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación.

Y recíprocamente, si dos rectas son paralelas, los ángulos que forman con el eje de abscisas son iguales y, por tanto, sus tangentes. Luego las pendientes son también iguales.

Perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales, o lo que es lo mismo, si el producto escalar de sus vectores de dirección es cero. Traduciendo ésto a coordenadas: Dos rectas con vectores de dirección y son perpendiculares.

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes y cumplen que: .

Dada una recta , sabemos que es la pendiente de esa recta y que es su vector de dirección.

Sea , otra recta, con su pendiente, y su vector de dirección.

Supongamos que . Sustituyendo:

Ahora, dos vectores son ortogonales si su producto escalar vale cero. Por tanto, los vectores directores de ambas rectas son perpendiculares.

Pendiente de la función

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