Glosario De Terminos

Estimaciones en intervalos de confianza

Introducción:

Se pretende conocer y saber calcular las estimaciones puntuales y por intervalo para la media – ya sea conocida o no la desviación estándar poblacional -, así como las estimaciones para la probabilidad de éxito en una binomial.

En el caso en que conozcamos todos los elementos de una población, es sencillo calcular todos los parámetros asociados; sin embargo, en la mayoría de casos no será así, y necesitaremos estimar algunos de ellos a partir de los parámetros de la muestra.

Estimación:

Un estadístico utilizado para aproximar un parámetro de población se denomina estimador del parámetro. El número obtenido cuando se evalúa el estimador para una muestra en particular, es una estimación del parámetro.

Si quiero conocer la estatura promedio de los colombianos podría hacer dos cosas:

 Tomar la estatura de todos y cada uno de los colombianos y calcular el valor promedio.

 Tomar una muestra de colombianos y calcular el valor promedio de la muestra.

El valor que encontramos en el primer caso es el valor real y se denomina parámetro. en el segundo caso tendremos un valor aproximado al valor real que se denomina estimación.es decir, un parámetro de la poblaciones estimado a partir de una muestra, siendo el estimador la función o estadístico elegido entre los posibles para caracterizar al parámetro. el valor tomado por dicho estimador en cada caso concreto recibe el nombre de estimación.

En la notación utilizada en publicaciones sobre estos temas, los parámetros se representan con letras griegas y los estimadores o estadísticos con letras latinas. Es decir, si estamos hablando del promedio de todos los colombianos se denota como µ y el valor que arroja la muestra se denota como . Para lograr que la muestra nos permita obtener un estimador lo más cercano al parámetro se deben cumplir dos condiciones:

Asegurar un adecuado proceso de muestreo.

Obtener un buen tamaño de muestra

Obtener un buen estimador permite sacar conclusiones que sean aplicables a toda la población de la cual se sacó la muestra.

Se deben distinguir dos tipos de estimación: la estimación puntual y la estimación por intervalo.

La estimación puntual: consiste en asignar un único valor como estimación del parámetro; esta estimación se utiliza cuando queremos conocer el valor concreto de un parámetro poblacional y no disponemos de este valor.

La estimación por intervalo: es aquella que calcula un intervalo que contenga entre sus límites, con cierta probabilidad, el verdadero valor del parámetro poblacional. Este intervalo se llama intervalo de confianza.

Cuando queremos realizar un estudio de una población cualquiera de la que desconocemos sus parámetros, por ejemplo su media poblacional o la probabilidad de éxito si la población sigue una distribución binomial, debemos tomar una muestra aleatoria de dicha población a través de la cual calcular una aproximación a dichos parámetros que desconocemos y queremos estimar. Bien, pues esa aproximación se llama estimación.

Además, junto a esa estimación, y dado que muy probablemente no coincida con el valor real del parámetro, acompañaremos el error aproximado que se comete al realizarla

Existen dos tipos de estimaciones para parámetros; puntuales y por intervalo.

 Una estimación puntuales un único valor estadístico y se usa para estimar un parámetro. El estadístico usado se denomina estimador.

 Una estimación por intervalos es un rango, generalmente de ancho finito, que se espera que contenga el parámetro.

Estimación por intervalos:

Hemos visto que la media muestral es un buen estimador puntual de la media poblacional. El inconveniente principal es que un único valor observado de generalmente no es exactamente igual a µ; habrá cierta diferencia entre y µ . Sería conveniente tener idea de lo cerca que está nuestra estimación del verdadero valor de la media poblacional. También sería bueno poder dar información de los seguros o confiados que estamos de la precisión de la estimación.

Para tener una idea, no solo del valor de la media, sino también de la precisión de la estimación, los investigadores optan por el método de estimación por intervalo o intervalos de confianza. Un intervalo estimador es lo que su propio nombre indica, un intervalo aleatorio, cuyos puntos extremos L 1 y L 2 son estadísticos.

Esto se utiliza para determinar un intervalo numérico a partir de la muestra. Se espera que este contenga el parámetro de la población que está siendo estimado. Si se amplía el intervalo, se gana error, se pierde confianza. Un intervalo de confianza de µ del 95% es tal que: . Decir que un intervalo es un intervalo de confianza del 95% de µ significa que, cuando se utiliza un muestreo repetido de la población, el 95% de los intervalos resultantes deberá contener a µ; debido al azar, el 5% no incluirá la verdadera media poblacional. El grado de confianza deseado es controlado por el investigador.

Un estimado puntual, por ser un sólo número, no proporciona por sí mismo información alguna sobre la precisión y confiabilidad de la estimación.

Por ejemplo, imagine que se usa la media de una muestra para estimar (estimador puntual) la resistencia real a la ruptura de toallas de papel de cierta marca y suponga que = 9322.7.

Debido a la variabilidad de la muestra, casi nunca se tendrá el caso de que= μ. El estimador puntual nada dice sobre lo cercano que esta de μ. Una alternativa para reportar el valor del parámetro que se esté estimando es calcular un intervalo de valores factibles, es decir un límite de confianza o intervalo de confianza (IC).

La estimación por intervalos de un parámetro desconocido θ proporciona información acerca de los valores de los parámetros que estamos estimando una indicación del nivel de confianza que se le puede dar a los posibles valores de los parámetros

Un intervalo de confianza para θ es de la forma L ≤ θ ≤ U, donde los extremos inferior y superior L y U dependen del valor numérico obtenido en una muestra para un cierto estadístico T, escogido según el parámetro θ que queremos estimar. L y U son variables aleatorias (distintas muestras producen distintos valores de L y U)

Definición:

En este tema vamos a estudiar como estimar, es decir pronosticar, un parámetro de la población,

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