HIPÓTESIS DE GAUSS - MARKOV

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HIPÓTESIS DE GAUSS - MARKOV

En este video  vamos a presentar las hipótesis de Gauss Markov, para ello vamos a partir de nuestro modelo teórico que recordemos decía que la variable dependiente Y se podía expresar con una combinación de una constante más otra constante por X y vamos a recordar que en el anterior video veíamos que bueno que esta relación no era suficiente porque claro aquí estamos suponiendo que esta variable X es capaz de predecir con exactitud esta variable Y a través de la relación de tipo lineal y eso normalmente no es así, nos vemos obligados a añadir un término de error que llamamos épsilon y cuando ésta ecuaciones se aplica a cada una de las observaciones en particular cuando esta ecuación se aplica  a la ecuación genérica a la yésima nos queda que la yésima observación de la variable dependiente se puede expresar como una constante alfa más otra constante beta por el valor que en esa yesima observación toma la variable explicativa X y un término de error épsilon sub i que nos vemos obligados a añadir aquí.

Que es lo que están recogiendo estos términos de error este o este, este es el general y este es uno particular, ¿Qué es lo que están recogiendo? Bueno están recogiendo el efecto de todo lo que no es la variable X es decir aquí estamos diciendo que esta variable dependiente Y se puede expresar de forma determinista como una combinación lineal de un parámetro alfa y otro parámetro beta multiplicado por X es decir de una forma tal que si conocemos el valor de X podemos predecir perfectamente el valor de Y sin embargo eso no es cierto sabemos que en cualquier variable existen muchas que influyen no solamente X.

Por ejemplo en el caso de los pisos, pues en el precio de los pisos que sería la variable que tratamos de estimar influye el tamaño del piso que sería X pero también influyen otras variables como puede ser la distancia a la playa, el número de habitaciones, la antigüedad del edificio es decir otras variables que no son X; y además no solo eso sino que la relación que esta X por ejemplo el tamaño del piso tiene sobre su precio no es una relación estrictamente lineal sino que seguramente debe de ser una función que quizás sea más compleja. Por tanto, que hacemos pues con ese resto de factores que no estamos considerando en X y además con el hecho de que X no es lineal todo eso lo metemos en este cajón de sastre y lo llamamos error y luego este error está recogiendo el efecto que sobre la variable dependiente tienen todas las demás variables que no son la X y además también el hecho de que esta relación entre X y Y no es perfectamente lineal.

Bien pues las hipótesis de Gauss Markov son un intento por modelizar este error, vamos a realizar conjeturas, afirmaciones sobre cómo se comporta este error y en concreto las afirmaciones que vamos a realizar son las siguientes:

La primera afirmación dice, primero lo escribo y luego lo explico; dice esto: para todo Y i  es decir sea cual sea la observación que estemos considerando de la variable dependiente para cualquier i desde uno hasta N el valor esperado del error es igual a cero; es decir cada uno de estos elementos que están aquí cada uno de estos épsilon i, cada uno de ellos es una variable aleatoria es decir no sabemos cuál va hacer el valor en concreto que va a tomar una determinada ocasión pero nosotros afirmamos que esa variable aleatoria tiene una esperanza matemática nula, dicho de tras forma el efecto que el resto de factores que es lo que es épsilon, el efecto que el resto de factores tiene sobre la variable dependiente es una variable aleatoria que por término medio toma valor nulo. Bien esa es la primera hipótesis o la primera afirmación que realizamos sobre el comportamiento de este rol aleatorio.

La segunda hipótesis que realizamos se puede escribir así dice la varianza de cada uno de los términos del error aleatorio es igual a sigma al cuadrado para todo hoy; dicho de otra forma pues tomemos cual tomemos el error que tomemos el termino de error que tomemos el primero, el segundo, el tercero, el enésimo todos ellos tienen la misma varianza, la misma dispersión. A esta hipótesis normalmente se le llama hipótesis de homocedasticidad, homocedasticidad que es la palabra que en Estadística utilizamos para referirnos a las situaciones de varianzas iguales.

La primera afirmación los errores, estos términos de error son variables aleatorias con media nula, con esperanza matemática nula y los errores son variables aleatorias homocedasticas todos los errores tienen la misma variabilidad a la que llamaremos sigma al cuadrado.

Y tercera afirmación, la tercera afirmación dice: que si tomamos dos términos de error cuales quiera épsilon i y épsilon j siempre que i y j sean distintos para todo i distinto de j resulta que la covarianza entre ellos es igual a cero, dicho de otra forma los términos de error son términos incorrelados no existe correlación entre ellos son términos incorrelados.

Estas son la tres hipótesis que se formulan y que en su conjunto reciben el nombre de hipótesis de Gauss y Markov, Gauss y Markov son dos matemáticos que no fueron coetáneos, hay diferencia de un año desde el fallecimiento de uno y el nacimiento del siguiente Gauss es  anterior a Markov y bueno estas tres hipótesis darán lugar como veremos enseguida en el siguiente video al llamado de Teorema de Gauss Markov que se refiere a unas consecuencias muy agradables del cumplimiento de estas tres hipótesis que hemos presentado aquí.

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