INFERENCIA PARA LA PENDIENTE

INFERENCIA PARA LA PENDIENTE

Intentaremos construir un intervalo de confianza y un test para β1.

Bajo los supuestos del modelo lineal (normalidad, homogeneidad de varianzas,

linealidad e independencia) el estimador 1

βˆ de la pendiente tiene distribución

normal con media β1 y varianza ) ( ˆ

Var β1

, y por lo tanto

2

1

1 1

~

( ˆ )

ˆ

−

−

= n

t

SE

T

β

β β

donde SE( 1

βˆ ), el error estándar del estimador de la pendiente, se define como:

x

e

n

i

i

e

n s

s

x x

s

SE

( 1)

( )

( ˆ )

2

1

2

2

1

2

−

=

−

=

∑

=

β .

Recordemos que SE( 1

βˆ ) es un estimador de la desviación estándar de la

distribución de muestreo de 1

βˆ .

Notemos que la varianza de 1

βˆ disminuye (la estimación es más precisa)

cuando:

(1) La varianza σ

2

disminuye.

(2) La varianza de la variable regresora aumenta ⇒ Mientras más amplio el

rango de valores de la covariable, mayor la precisión en la estimación.

(3) El tamaño de muestra aumenta.

Ejemplo (continuación)

i

x i

y i

yˆ

=2.7+5.4xi

2

( ˆ )

i i

y − y

2

(x x)

i

−

0.5 5.0 5.4 0.16 1.50

1.0 8.0 8.1 0.01 0.25

1.5 12.0 10.8 1.44 0.00

2.0 13.0 13.5 0.25 0.25

2.5 16.0 16.2 0.04 1.00

Total= 1.90 2.50 Regresión Lineal Simple Liliana Orellana ,2008 17

0.2533

2.50

0.633

( )

( ˆ )

1

2

2

1

2

= =

−

=

∑

=

n

i

i

e

x x

s

SE β

SE(βˆ

1

) = 0.2533 = 0.503

Nota. Un valor pequeño de SE( 1

βˆ ) nos indica que la estimación de la pendiente

variará poco de muestra en muestra (para este conjunto dado de valores de X).

...