INVESTIGACION DEL BINOMIO AL CUADRADO
Enviado por xhonithoTenorio • 23 de Septiembre de 2012 • 2.823 Palabras (12 Páginas) • 2.591 Visitas
Binomio al cuadrado
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 • a • b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 • x •3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 • a • b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
2x2 y3 z
Partes de un monomio
Coeficiente
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
Parte literal
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
Grado
El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.
El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z
Operaciones con monomios
Suma de monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de dos monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn + bxn = (a + b)xn
2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z
Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
2x2 y3 + 3x2 y3 z
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.
5 • (2x2 y3 z) = 10x2 y3 z
Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.
axn • bxm = (a • b)xn +m
(5x2 y3 z) • (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3
División de monomios
Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.
axn : bxm = (a : b)xn − m
Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.
Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia.
(axn)m = am • xn • m
(2x3)3 = 23(x3)3 = 8x9
(-3x2)3 = (-3)3 (x2)3 = −27x6
Un binomio es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del primer término más, o menos, el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 • a • b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 • x •3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
(a − b)2 = a2 − 2 • a • b + b2
(2x - 3)2 = (2x)2 + 2 • 2x • 3 + 3 2 = 4x2 + 12 x + 9
Binomio al cubo
Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más, o menos, el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo más, o menos, el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 • a2 • b + 3 • a • b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 • x2 • 3 + 3 • x• 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
(a − b)3 = a3 − 3 • a2 • b + 3 • a • b2 − b3
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 • (2x)2 •3 + 3 • 2x• 32 - 33 =
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a una suma por diferencia.
a2 − b2 = (a + b) • (a − b)
4x2 − 25 = (2x)2 − 52 = (2x + 5) • (2x - 5)
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) • (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) • (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 • 3 =
= x2 + 5x + 6
Binomio de Newton
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.
Podemos observar que:
El número de términos es n+1.
Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.
Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicaci�n t�rmino a t�rmino. A continuaci�n se describen algunos de ellos.
Cuadrado del binomio
Recordemos que a la expresi�n algebraica que consta de dos t�rminos se le llama BINOMIO. El producto de un binomio por s� mismo recibe el nombre de cuadrado de binomio.
El desarrollo de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura. Por ejemplo, al elevar al cuadrado el binomio "a+b", multiplicando t�rmino a t�rmino, se obtendr�a:
(a+b)2 = (a+b)•(a+b) = a • a + a • b + b • a + b • b = a2+ab+ba+b2 = a2+2ab+b2
pero si comparamos la expresi�n "(a+b)2" con el resultado de su expansi�n "a2+2ab+b2" podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:
Donde representa al primer t�rmino del binomio y al segundo.
Si tomamos como ejemplo al binomio "a-b", ocurre lo mismo que para "a+b" s�lo que en la reducci�n de t�rminos semejantes se conserva el signo menos delante del doble producto, o sea:
En ambos casos vemos que se tiene
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