Investigacion

Introducción

Una sucesión es el nombre matemático que hace referencia a una lista Infinita de números. En una lista podemos hablar de primer término, Segundo término, etc., que corresponden a la posición que ocupan en Dicha sucesión.

Podemos formalizar todo esto un poco más: podemos asociar cada número Entero positivo n con un número real z_n, y el conjunto ordenado:

z_1 〖+z〗_2 〖…+z〗_(n…)

Define una sucesión infinita. Observad que cada término de la sucesión Tiene asignado un numero entero positivo (el puesto que ocupa en la lista) y podemos hablar del primer término z_1 del segundo término z_2 y, en general, del término n-eximo z_n. Cada término z_n tiene un término siguiente z_(n+1), por lo que, en consecuencia, no hay ´último término.

La forma más fácil para construir una sucesión es a partir de una regla o formula que defina el término n-esimo. Así, por ejemplo, la f ´formula z_n=1 define la sucesión:

1, 1, 2, 1, 3,. . ., 1, n. . .

En algunas ocasiones son necesarias dos o más fórmulas para describir los Elementos de la lista. Por ejemplo, si consideramos la sucesión z_1=z_2=1

y z_2n=n en este caso, los primeros términos de la sucesión son:

1, 1, 1, 2, 1, 3,. . ., 1, n. . .

Otra forma de definir una sucesión es mediante una fórmula de recurrencia, que permite calcular un término a partir de los anteriores. Si tomamos z_1=z_2=1

y la formula de recurrencia, z_(n+1)=z_n+z_(n-1) tendremos:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. . Obteniendo nuestra serie.

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Sucesiones y series

Definición.

Una sucesión de números complejos es una aplicación del conjunto de los números naturales en C. Como de costumbre, representaremos por {zn} la función dada por n , zn donde zn ∈ C. La Definición de sucesión convergente es exactamente la misma que para sucesiones reales.

Una sucesión infinita de números complejos, z1, z2,…, z¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬n,… tiene por limite z si para cada número positivo ε >o, existe un numero positivo n0 tal que |z_n-z|<ε para n≥no.

Una sucesión puede tener a lo sumo un límite. Es decir el límite si existe es único. Cuando existe el límite z, se dice que la sucesión converge a z, y escribimos lim┬(n→a)⁡zn=z. Si la sucesión no tiene límite entonces se dice que diverge.

Teorema.

Supóngase que z_n=x_n+〖iy〗_n con n = 1, 2, 3,…, n,… y que z= x+iy. Entonces lim┬(n→a)⁡zn=z ↔ limn→a xn= x y limn→a yn= y.

Una serie infinita de números complejos ∑_(n=1)^n▒zn= z1+ z2+…+ z¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬n,+… converge a un número s, llamado suma de la serie si la sucesión sn = ∑_(n=1)^n▒zn= z1+ z2+…+ z¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬n donde n= 1, 2,3…,

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