La Dispersión De Factores

ANÁLISIS DE SERIES DE TIEMPO - MODELOS ARIMA

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

INFORME - MI8130

ANÁLISIS DE DATOS EN INGENIERÍA DE MINAS

ALUMNO:

ENRIQUE CABALLERO A.

PROFESOR

XAVIER EMERY

SEPTIEMBRE 2011

RESUMEN EJECUTIVO

El presente trabajo corresponde a un trabajo de investigación de los modelos ARIMA y su aplicación en la predicción de series de tiempo.

En este trabajo se muestra la metodología general de aplicación de los modelos ARIMA a series de tiempo, la cual se resume a continuación:

En particular se muestran nexos con series de tiempo de precios de commodities (en particular metales) y las repercusiones de una mala estimación en el perfil de estos precios (decisiones erradas de momento óptimo de entrada al negocio, malos contratos a mediano plazo, mala definición de las reservas, decisiones erradas al tener malas estimaciones de indicadores económicos como el VAN, IVAN, TIR, entre otros).

En general para los precios de los metales, no es posible establecer una buena estiamción a largo plazo, y en el caso particular del cobre:

A Corto Plazo lo mjor es un Random – Walk (Raíz Unitaria) (1 año).

A mediano Plazo lo mejor es un AR(1) (Hasta 5 años).

A mayor escala de tiempo (más de 5 años), ningún modelo es útil para predecir.

Tabla de contenido

1 Introducción 1

2 Antecedentes 2

2.1 Conceptos Importantes 2

2.1.1 Nociones Básicas de Series de Tiempo 2

2.1.2 Commodities 2

2.2 Motivación 3

3 Modelos ARIMA 4

3.1 Proceso Estocástico 4

3.1.1 Serie Temporal Y Proceso Estocástico 4

3.1.2 Estacionaiead de un Proceso 4

3.2 Proceso estocástico “ruido – blanco” 6

3.2.1 Camino Aleatorio 6

3.3 Modelos autorregresivos AR(p) 6

3.4 Operador y polinomio de retardos 8

3.5 Modelo de medias móviles MA(q) 8

3.6 Modelos ARMA(P,Q) Y ARIMA(P,d,Q) 9

4 Predicción de Valores de Series de Tiempo Utiliazando modelos ARIMA 11

4.1 Componentes de las Series de Tiempo 11

4.1.1 Ciclicidad 12

4.1.2 Tendencia 12

4.1.3 Estacionalidad 13

4.1.4 Componente Errática 13

4.2 Test de Raíz Unitaria (Estacionariedad en Varianza) 14

4.3 Identificación de Estructuras 16

4.4 Ajuste y Predicción 19

4.4.1 Mínimos Cuadrados 19

4.4.2 Ajuste de un Modelo Lineal de Una Variable 21

4.4.3 Ajuste de un Modelo Lineal de Varias Variables 23

4.4.4 Significancia de un Modelo de Varias Variables (Bondad de Ajuste) 25

4.5 Predicción de Precios de Commodities 26

4.5.1 Link entre Geostadística y Modelos ARIMA 27

5 Conclusiones 28

6 Referencias 29

TABLA DE FIGURAS

Figura 1: Serie de Tiempo del PIB 2

Figura 2: ALGUNOS Commodities 2

Figura 3: Series de Tiempo de Precios de Commodities 2

Figura 4: Componentes en las Series de Tiempo 11

Figura 5: Ciclicidad 12

Figura 6: Tendencia 12

Figura 7: Estacionalidad 13

Figura 8: CoMparación de estacionariedad en varianza - Procesos AR(2) 14

Figura 9: Correlogramas ACF y PACF de un AR(1) 18

Figura 10: Criterios para Determinar el Valor de los Parámetros para un Modelo ARMA(p,q) 18

Figura 11: Esquema del Ajuste y Validación de los Modelos ARIMA a Series de Tiempo 19

Introducción

En 1970, Box y Jenkins desarrollaron un cuerpo metodológico destinado a identificar, estimar y diagnosticar modelos dinámicos de series temporales en los que la variable tiempo juega un papel fundamental, los modelos ARIMA. La metodología ARIMA es sólo una pequeña parte de los que se conoce normalmente como “Econometría de Series Temporales” pero, sin duda alguna, una de las más utilizadas y germen de otros muchos desarrollos posteriores.

En este trabajo se muestra la metodología general de aplicación de los modelos ARIMA a series de tiempo, detallando cada paso y entregando los conceptos fundamentales detrás de esta metodología. En particular se muestran nexos con series de tiempo de precios de commodities (en particular metales) y las repercusiones de una mala estimación en el perfil de estos precios.

Antecedentes

Conceptos Importantes

Nociones Básicas de Series de Tiempo

Una serie de tiempo o cronológica es una secuencia de datos, medidos en determinados momentos del tiempo. A continuación se muestra la serie de tiempo Y (con valores Yt):

Y={Y_t,t∈T}

Figura 1: Serie de Tiempo del PIB

Commodities

El significado tradicional de commodities se refiere originalmente a materias primas a granel. Podemos encontrar entre los commodities materias primas alimenticias (té, café, azúcar, maíz, granos), energéticos (petróleo, gas, carbón), metales (oro, plata, platino, cobre, zinc), textiles, maderas, entre otros.

Figura 2: ALGUNOS Commodities

Un ejemplo de serie de tiempo, de mucha importancia en la minería, es la serie formada por los precios de los metales en el tiempo.

Figura 3: Series de Tiempo de Precios de Commodities

Motivación

La motivación en la estimación y proyección de los precios de los metales, en el caso particular del negocio minero, repercute en varios aspectos, algunos de los cuales se enuncian a continuación:

Diferentes perfiles de precios generan diferentes envolventes económicas

Diferentes perfiles de precios generan diferentes planes mineros (debido a la variación de leyes de corte).

Diferentes indicadores económicos en proyectos (VAN, IVAN, TIR, PayBack, entre otros). Esto repercute claramente en aspectos como el momento óptimo de entrada al negocio o malos contratos a mediano y/o largo plazo.

Diferentes perfiles de precios repercuten en la decisión de ritmo óptimo de explotación (debido a la variabilidad transmitida en los indicadores económicos) pudiendo generar ritmos tan diferentes que generen diferentes flotas (cantidad de equipos) o incluso diferentes capacidades de equipos (por ejemplo requerir palas de 56 yd3 en vez de 73 yd3).

Diferentes perfiles de precios repercuten en los límites de explotación de un yacimiento, sus inversiones futuras y sus futuras expansiones.

Por lo tanto es fundamental tener una buena estimación de los precios (en particular para corto y mediano plazo).

Modelos ARIMA

Proceso Estocástico

Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias Yt ordenadas, pudiendo tomar t cualquier valor entre - y . Por ejemplo, la siguiente sucesión de variables aleatorias puede ser considerada como proceso estocástico:

El subíndice t no tiene, en principio, ninguna interpretación a priori, aunque si hablamos de proceso estocástico en el contexto del análisis de series temporales este subíndice representará el paso del tiempo.

Serie Temporal Y Proceso Estocástico

Una vez introducido el concepto genérico de proceso estocástico puede decirse que una serie temporal cualquiera es, en realidad, una muestra, una realización concreta con unos valores concretos de un proceso estocástico teórico, real. El análisis de series temporales tratará, a partir de los datos de una serie temporal, inferir las características de la estructura probabilística subyacente, del verdadero proceso estocástico. Si logramos entender qué características tiene este proceso (cuál es la esperanza de sus variables, su varianza y las relaciones entre variables separadas en el tiempo) y observamos además que estas características se mantienen en el tiempo, podremos utilizar la metodología ARIMA para proyectar su valor en el futuro inmediato.

Estacionaiead de un Proceso

La utilización de modelos ARIMA como estrategia de predicción de series temporales sólo tiene sentido si las características observadas en la serie (o más correctamente, en el proceso estocástico subyacente) permanecen en el tiempo.

Proceso estocástico estacionario en sentido fuerte.

Cada una de las variables Yt que configuran un proceso estocástico tendrán su propia función de distribución con sus correspondientes momentos. Así mismo, cada conjunto de variables tendrán su correspondiente función de distribución conjunta y sus funciones de distribución marginales. Habitualmente, conocer esas funciones de distribución resulta complejo de forma que, para caracterizar un proceso estocástico, basta con especificar la media y la varianza para cada yt y la covarianza para variables referidas a distintos valores de t:

Decimos que un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto o fuerte si las funciones de distribución conjuntas (no sólo la esperanza, las varianzas o las covarianzas, sino las funciones de distribución “completas”)

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