La esencia del sistema simbólico de la lógica

1. LÓGICA SIMBÓLICA

Todos estamos familiarizados con la lógica y con la idea de que algunas personas poseen una "mentalidad lógica" mientras que otras no. ¿Cómo podemos entonces llegar a ser lógicos? No siempre resulta sencillo seguir razonamientos o argumentos extensos para obtener conclusiones válidas. El propósito de la lógica simbólica consiste en establecer un lenguaje simbólico artificial que se pueda utilizar para simplificar los argumentos lógicos complicados El gran matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716) fue el primero en concebir este planteamiento cuando a la edad de 14 años intentó reformar la lógica clásica. Leibniz llamó a la lógica simbólica característica universal y escribió en 1666 que deseaba crear un método general en el cual todas las verdades de la razón serían reducidas a una especie de cálculos Al mismo tiempo, esto constituiría un tipo de lenguaje o escritura universal, pero infinitamente distinto de todos los proyectados hasta ahora, ya que los símbolos, e incluso las palabras contenidas en él, dirigirían la razón; y los errores, excepto los de facto, serían meras equivocaciones en los cálculos. Sería muy difícil formar o inventar este lenguaje o característica, pero muy fácil de entenderlo sin necesidad de diccionarios.

Este sueño no se realizó hasta que el matemático inglés George Boole (1815-1864) separó los símbolos de las operaciones matemáticas de los conceptos sobre los cuales operaban y estableció un sistema factible y sencillo de lógica simbólica. En 1859, Boole expuso sus ideas en su obra An invest¿gat¡on of the Laws of Thought (Investigación de las leyes del pensamiento). Desgraciadamente, este trabajo no recibió buena aceptación. y no fue hasta que Bertrand Russell (1872-1970) y Alfred North White-head (186l-1947)utilizaron la lógica simbólica en su obra Principia Matemática que el mundo de la matemática dio importancia a las ideas propuestas inicialmente por Leibniz alrededor de 250 años antes.

En este libro se tratará de responder a la pregunta, ''¿Cómo podemos llegar a ser más lógicos?''. Se pretende aplicar la lógica no solamente en el trabajo formal ordinario sino también en la vida diaria. Es necesario poder comunicarse de manera inteligente con los demás; se requiere adquirir capacidad para analizar los argumentos de nuestros legisladores y dirigentes; necesitamos ser consumidores inteligentes para analizar las afirmaciones de los anunciantes. Bien sea que nos agrade o no, la lógica es una parte importante del mundo que nos rodea, y en este libro sentaremos las bases que nos ayudarán a ser más "lógicos".

1.1 Proposiciones

La lógica es un método de razonamiento que no acepta conclusiones, excepto las que son inevitables. Esto se puede lograr debido a la forma estricta en que se define cada uno de los conceptos. Esto es, todo debe definirse de manera que no dé lugar a dudas o imprecisiones en su significado. Nada puede darse por supuesto, y las definiciones de diccionario no son normalmente suficientes. Por ejemplo, en el lenguaje ordinario un enunciado u oración se puede definir como "una palabra, o grupo de palabras, que declara, pregunta, ordena, solicita, o exclama algo; unidad convencional del habla o escritura coherente, que normalmente contiene un sujeto y un predicado, que empieza con letra mayúscula y termina con un punto." Sin embargo, en lógica simbólica una oración tiene un significado mucho más limitado y se llama proposición.

PROPOSICIÓN Una proposición es una oración que es verdadera o falsa, pero no verdadera y falsa a la vez.

Si la oración es una pregunta o una orden, o si es demasiado imprecisa (o carece de sentido), entonces no se puede clasificar como verdadera o falsa, así que no se llamaría proposición.

EJEMPLO 1

1. Neil Armstrong caminó sobre la luna.

2. 3 + 2 7.

3. El Pato Donald es presidente.

Todas estas oraciones son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas. Por otro lado, consideremos las expresiones

4. ¡Márchate!

5. 3 + x = 7.

6. ¿Qué estás haciendo?

Estas no son proposiciones en virtud de la definición dada, ya que no se pueden clasificar satisfactoriamente como verdaderas o falsas.

Pueden surgir dificultades al simplificar argumentos debido a su extensión, a la imprecisión de las palabras que se utilizan, al estilo literario, o al posible impacto emocional de las palabras de que constan. Consideremos los dos argumentos siguientes.

1.-Si George Washintong fue asesinado, está muerto.

Por lo tanto,si está muerto, fue asesinado.

2.- Si consumes heroína, primeramente consumiste marihuana.

Por lo tanto, si primero consumiste marihuana, consumes heroína.

Lógicamente, estos dos argumentos son exactamente iguales, y ambos son formas no válidas de razonamiento. Casi todo mundo admitiría que el primer argumento es absurdo, pero muchos aceptan el segundo argumento debido al aspecto emocional de las palabras empleadas en él.

Para evitar estas dificultades y ayudar a la simplificación de los argumentos lógicos complicados, puede establecerse el lenguaje simbólico artificial a que nos referimos anteriormente. El lenguaje que se inventa aquí es necesariamente más simple que cualquier lenguaje natural; es una especie de taquigrafía notacional. Se denotan las proposiciones simples con literales, tales como p, q, r, s,..., y luego se definen ciertos conectivos. Nuestra meta, en la medida en que sea posible, consiste en

1. traducir las proposiciones del lenguaje ordinario a la forma simbólica

2. simplificar la forma simbólica.

3. traducir la forma simplificada de nuevo a proposiciones del lenguaje ordinario.

Para los fines de este libro, se supondrá que la traducción en un sentido y en otro entre el lenguaje ordinario y el simbólico se puede efectuar de manera sencilla. En realidad, no siempre sucede así, desafortunadamente. El lenguaje ordinario puede tener relaciones sutiles que sobrepasan el significado exacto de las palabras de una oración simple. Se deben tener presentes las interpretaciones que se dan a los símbolos de un problema particular. Al traducir, debemos preguntarnos qué significa la oración en el lenguaje natural, y luego se debe tratar de encontrar una proposición en lenguaje simbólico que tenga, hasta donde sea posible, el mismo significado.

Se puede evitar el problema de la extensión considerando solamente proposiciones simples unidas por ciertos conectivos bien definidos, tales como no, y, o, ni... ni, si... entonces, a menos que, debido a que, y así sucesivamente.

1.1.1 Forma proposicional, proposición o enunciado abierto

Un enunciado:

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