LÓGICA MATEMÁTICA

LÓGICA MATEMÁTICA

CONCEPTO DE LÓGICA MATEMÁTICA

La Lógica estudia la forma del razonamiento. La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier actividad en la vida.

DEFINICIÓN Y CLASES DE PROPOSICIONES

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Toda proposición consta de tres partes: un sujeto, un verbo y un complemento referido al verbo. La proposición es un elemento fundamental de la Lógica Matemática.

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.

Ejemplos. p: México se encuentra en Europa.

q: 15−6=9 r: 2x−3>7 s: Los precios de los teléfonos celulares bajarán a fin de año. t: Hola ¿cómo estás? w: ¡Cómete esa fruta!

Los enunciados p y q pueden tomar un valor de falso o verdadero, por lo tanto, son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a la variable x en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara el año. Sin embargo, los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden. En general, las proposiciones pueden ser:

• Simples si sólo tienen un sujeto, un verbo y un complemento. En caso contrario, son proposiciones Compuestas.

• Cerradas si tienen determinado el sujeto. Abiertas si no lo tienen determinado.

• Afirmativas o Negativas. Según lo afirmen o nieguen.

• Verdaderas o Falsas según correspondan o no a la realidad.

Ejemplos.

h: "Ana come pizza y bebe refresco", es una proposición compuesta, cerrada y afirmativa.

j: "Ella no nada muy rápido", es una proposición simple, abierta y negativa.

k: “Cuernavaca no está al norte del D.F. y no hace frío", es una proposición compuesta, cerrada, negativa y verdadera.

l: 7+3=10 es una proposición simple, cerrada, afirmativa y verdadera. m: x2 ≠ x−2 es una proposición simple, abierta y negativa. n: a+b=6 es una proposición compuesta, abierta y afirmativa.

CONECTIVOS LÓGICOS EN PROPOSICIONES COMPUESTAS

Existen conectivos u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas, es decir, formadas por varias proposiciones. Los operadores o conectores básicos son:

• Conjunción (operador and)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Se le conoce como multiplicación lógica y su símbolo es ∧ (and).

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado: "Voy al cine cuando hay una buena película y cuando tengo dinero " Sean:

p: Voy al cine.

q: Hay una buena película. r: Tengo dinero.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

p = q∧r

Su tabla de verdad es como sigue:

q r p∧r

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Donde.

1 = verdadero

0 = falso

En la tabla anterior el valor de q=1 significa que hay una buena película, r=1 significa que tengo dinero y p=q∧r=1 significa que voy ir al cine. Se puede notar que con cualquiera de las dos proposiciones que valga cero implica que no asisto al cine.

• Disyunción (operador or)

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se conoce como suma lógica y su símbolo es ∨ (or).

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado: “Para ir a Toluca puedo tomar la carretera federal o tomar la autopista de cuota” Sean:

p: Ir a Toluca. q: Tomar la carretera federal. r: Tomar la autopista de cuota.

q r p∨r

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

En la tabla anterior el valor de q=1 significa tomar la carretera federal, r=1 significa tomar la autopista de cuota y p=q∨r=1 significa ir a Toluca. Se puede notar que con cualquiera de las dos proposiciones que valga uno implica que llego a Toluca.

• Negación (operador not)

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su negación (falso) y viceversa. Este operador se indica por medio del símbolo ’.

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado: “El león es el rey de la selva” Sean:

p: El león es el rey de la selva. p’: El león no es el rey de la selva.

Su tabla de verdad es como sigue:

p p’

1 0

0 1

En la tabla anterior el valor de p=1 significa que el león es el rey de la selva, y p=0 significa que el león no lo es .

Ejemplo.

Sean las proposiciones:

p: Ya es tarde. q: Tengo que dormirme. r: Me levantaré temprano.

El enunciado: "Ya es tarde y tengo que dormirme o no me levantaré temprano”. Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera: p∧q∨r’

PROPOSICIONES CONDICIONALES

Una implicación o proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. Se indica de la siguiente manera:

p→q (se lee "si p entonces q")

Ejemplo.

Un profesionista dice "Si ahorro me podré comprar una casa en tres años ". Una declaración como esta se conoce como condicional.

Sean: p: Ahorro.

q: Podrá comprar una casa en tres años .

De tal manera que el enunciado se puede expresar como: p→q Su tabla de verdad es de la siguiente manera:

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