Lógica Matemática

Lógica Matemática

LÓGICA PROPOSICIONAL

En lógica, la lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las conectivas lógicas son operaciones sobre dichas fórmulas, capaces de formar otras fórmulas de mayor complejidad. Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.

CONCEPTO DE PROPOSICIÓN

Es una oración aseverativa de la que tiene sentido decir que es verdadera o falsa.

• Expresión verbal que afirma o niega algo.

• Secuencia finita de signos con significado y sentido de ser calificado como verdadero o falso.

• Expresión lingüística susceptible de ser calificada de verdadera o falsa. hace referencia explicita a las oraciones aseverativas o enunciativas.

EJEMPLOS:

CIERTOS

• La raíz cuadrada de 4 es 2.

• Los bebes lloran.

• Un cuadrado tiene 4 lados.

FALSOS

• Todos los carros tiene 2 ruedas.

• 20 + 20 = 20.

• Ningún hombre sabe leer.

• Proposiciones compuestas (Disyunción, Conjunción, Negación, Condicional, Bicondicional)

• DISYUNCIÓN

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• La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

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• Tabla de verdad de la disyunción

• (Ir a 3.1.3 Tablas de Verdad)

• p v q (se lee: ” p o q”)

• EJEMPLOS:

• p = ” El numero 2 es par”

• q = ” la suma de 2 + 2 es 4″

• entonces…

• pvq: “El numero 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″

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• p = ” La raíz cuadrada del 4 es 2”

• q = ” El numero 3 es par″

• entonces…

• pvq: “La raíz cuadrada del 4 es 2 o el numero 3 es par”

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• CONJUNCIÓN

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• La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas.

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• Tabla de verdad de la conjunción

• (Ir a 3.1.3 Tablas de Verdad)

• p ^ q (se lee: ” p y q”)

• EJEMPLOS:

• p = ” El numero 4 es par”

• q = ”Siempre el residuo de los números pares es 2″

• entonces…

• p^q: “El numero 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2″

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• p = ” El numero mas grande es el 34”

• q = ”El triangulo tiene 3 lados″

• entonces…

• p^q: “El numero mas grande es el 34 y El triangulo tiene 3 lados”

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• NEGACIÓN

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• La negación es un operador que se ejecuta. sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

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• Tabla de verdad de Negación

• (Ir a 3.1.3 Tablas de Verdad)

• EJEMPLOS

• p: ”4 + 4 es igual a 9″

• -p: “4 + 4 no es igual a 9″

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• p: ”El 4 es un numero par”

• -p: “El 4 no es un numero par”

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• CONDICIONAL

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• El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, yverdadero en cualquier otro caso.

• La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q

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• Tabla de Verdad Condicional

• (Ir a 3.1.3 Tablas de Verdad)

• EJEMPLOS

• p: ”llueve”

• q: “hay nubes”

• p→q: “si llueve entonces hay nubes”

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• p: ”Hoy es miércoles”

• q: “Mañana será jueves”

• p→q: “Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves”

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• BICONDICIONAL

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• El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

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• Tabla de Verdad Bicondicional

• (Ir a 3.1.3 Tablas de Verdad)

• EJEMPLOS

• p: ”10 es un número impar”

• q: “6 es un número primo”

• p↔q: “10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo”

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• p: ”3 + 2 = 7″

• q: “4 + 4 = 8″

• p↔q: “3 + 2 = 7 si y solo si 4 + 4 = 8″

Tablas de Verdad

Para empezar debemos de conocer los Símbolos de las conectivas:

NEGACION: ¬, se lee “No es cierto que …”

CONJUNCION:^, se lee “… y …”

DISYUNCION: v, se lee “… o …

CONDICIONAL: →, se lee “si … entonces …”

BICONDICIONAL: ↔, se lee “… si y solo si …”

• la negación es una conectiva lógica que transforma un enunciado en su opuesto lógico y se le llama conectiva singular porque se aplica sobre un solo enunciado

Tabla de Verdad Negación

• la conjunción es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando sus enunciados componentes son verdaderos

Tabla de verdad conjunción

• la disyunción es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando al menos uno de sus enunciados componentes es verdaderos, siendo falsa cuando ambos son falsos

Tabla de Verdad Disyunción

• la condicional es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera cuando el segundo enunciado sea verdadero o tenga el mismo valor de verdad que el primero. al primer enunciado involucrado se le llama antecedente y al segundo se le llama consecuente

Tabla de Verdad

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