Matematica Distribuciones

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL DEL NORTE DEL TACHIRA

MANUELA SAENZ

U.C.: MATEMATICA

AUTORES

RODRIGUEZ M. SHAIRY Y.

NORIEGA R. CRISTOFHER J.

TRAYECTO 3 – MODULO 1

SECCIÓN “B”

LA FRÍA, OCTUBRE 2012

DISTRIBUCION T-STUDENT

TEORIA DE PEQUEÑAS MUESTRAS

En probabilidad y estadística, la distribución-t ó distribución t de Student, es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaña de la muestra es pequeño.

A la teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del muestreo, ya que también la podemos utilizar con muestra aleatoria de tamaño grande.

Existe un nuevo concepto para entender la Distribución T-Student, como lo es “Grados de Libertad”. Para definir Grados de Libertad se hace referencia a la Varianza muestral

Esta fórmula está basada en n-1 grados de libertad. Esta terminología resulta del hecho de que si bien esta basada en “n” cantidades x1-x, x2-x,….xn - , estas suman cero, así que especificar los valores de cualquier n-1 de las cantidades determina el valor restante.

Por ejemplo, si n=4 yx1 – = 8; x2 - =6 y x4 - = -4, entonces automáticamente tenemos x3- =2, así que solo tres de las cuatro medias de xi - están libremente determinadas, la otra debe tomar valor que haga esta suma cero; es por esto que solo tenemos 3 grados de libertad.

Grados de Libertad = numero de mediciones – 1

DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES T-STUDENT

Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de probabilidad t ó T de Student con k Grados de Libertad, donde k es un numero positivo, si su función de densidad es la siguiente:

La grafica de esta función de densidad es simétrica, respecto del eje de ordenadas, con independencia del valor de k, y de forma algo semejante a la distribución normal:

Su valor medio y varianza son:

La siguiente figura presenta la grafica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media = 0. Sin embargo, la distribución t tiene colas más amplias que lo normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución estándar.

PROPIEDADES DE LAS DISTRIBUCIONES T

1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.

2. Cada curva t, está más dispersa que la curva normal estándar.

3. A medida que k aumenta, la dispersión de la curva t correspondiente disminuye.

4. A medida que , la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar.

La distribución de probabilidades de t se publicó por primera vez en 1908 en un artículo de W.S. Gosset. En esa época, Gosset era empleado de una cervecería irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibición, publico su trabajo en secreto bajo el nombre de “Student”. En consecuencia, la distribución t normalmente se llama distribución t Student, o simplemente distribución t.

EJEMPLO DE CALIBRACION

Se desea saber si un instrumento de medición cualquiera está calibrado, desde el punto de vista de la exactitud. Para ello se consigue un valor patrón y se lo mide 10 veces (Ej.: Una pesa patrón ´para una balanza, un suero control para un método clínico, entre otros.). Suponiendo que el resultado de estas mediciones arroja una medida de 52,9 y una desviación de 3, usando un patrón de valor de 50, se debe determinar si el instrumento esta calibrado y la estimación de su error sistemático, si es que se prueba su existencia (no se usan unidades para generalizar este ejemplo).

H0: = 50 el instrumento esta calibrado en exactitud.

H1: = 50 no esta calibrado. Hay un error sistemático.

Se trata de un ensayo de dos colas donde hay k=10-1=9 grados de libertad. De la tabla t-Student se obtiene los valores críticos para el 95% de t0, 05,9.= 2.262, para el 99% de t 0,01,9 = 3,25 y para el nivel del 99.9% es t 0,001,9 = 4,781. Lo que permite establecer las zonas de aceptación y rechazo:

Mirando las zonas con los valores críticos, el valor t cae en la de rechazo para el 95% y no alcanza para las otras. La conclusión es que se ha probado la existencia de un error sistemático con una confianza del 95%.

Aquí se puede observar como una distribución se aproxima a la distribución Gauus para medidas mayores a 30.

DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2)

En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.

Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza , el estadístico:

Tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:

Donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:

PROPIEDADES DE LAS DISTRIBUCIONES JI-CUADRADA

1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.

2. La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.

3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.

4. Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.

5. Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).

6. El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).

La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor

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