Matematica

_ OPERACIONES CON CONJUNTOS. 2 EJEMPLOS.

Unión.

Sean A y B conjuntos.

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto, denotado por A B, formado por los elementos que estén en al menos uno de los conjuntos A o B. Este conjunto, expresado por comprensión es:

A B = { x U / x A ˅ x B}

Así, podemos decir que los elementos de la unión del conjunto A con el conjunto B son aquéllos que estén o bien en A o en B o en ambos.

En verde el conjunto A B.

Ejemplos:

1.- Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o}, entonces la unión de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén en alguno de los dos conjuntos, esto es:

A B = { a, b, c, d, e, i, o}

representación de la unión

2.- Ejemplo. Si A = { a; b; c; d; e; f } y B = { m, n, e, p, b } entonces A B = { a; b, c, d, e, f , m, n, p }

• Interseccion.

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto, denotado por A B, formado por los elementos que estén simultáneamente en los conjuntos A y B. Este conjunto, expresado por comprensión es:

A B = {x U / x A ˄ x B}

Así, podemos decir que los elementos de la intersección de A con B son aquéllos que estén a la vez en A y en B.

En verde conjunto A B.

Ejemplos:

1.- Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es:

A B = { a, e}

Representación de la interseccion

2.- Ejemplo. Si A = {a. b, c, d, e, f } y B = { m; n; e; p; b } entonces A B = { b, e}

• Complemento.

Sea A un conjunto. El complementario del conjunto A es el conjunto, denotado por Al, formado por los elementos del universal U que no estén en A.

Este conjunto, expresado por comprensión es:

Al = { x U / x A}

En verde conjunto Al.

Como cabe esperar, si un conjunto es el complementario de otro conjunto, diremos que ambos conjuntos son complementarios.

Ejemplos:

1.- Si el conjunto universal es U = { a, b, c, d, e } y A = { b, c, d }, entonces el complementario de A respecto de U está formado por los elementos del universal que no estén en A, esto es:

Al = { a, e }

Los conjuntos { a, e } y { b, c, d } son complementarios.

En verde el conjunto Al.

• Diferencia.

Sean A y B conjuntos. La diferencia del conjunto A menos B, denotado por A – B, es el conjunto formado por los elementos que estén en A y no en B.

Este conjunto, expresado por comprensión es:

A – B = { x U / x A ˄ x B}

Así, podemos decir que los elementos de la diferencia de A con B son aquéllos que estén únicamente en A.

En verde conjunto A – B

Ejemplos:

1.- Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e, i, o }, entonces la diferencia de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén solamente en A, esto es:

A – B = { b, c, d }

Represenatcion de la diferencia

2.- Ejemplo. Si A = { a, b, c, d, e, f } y B = { a; e; i; o; u } entonces A - B = { b; c; d; f }

_ PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES.

Propiedad Conmutativa: Cuando se multiplican dos números, el producto es el mismo sin importar el orden de multiplicandos (el orden de los factores no altera el producto).

Ejemplo: a x b = b x a

Propiedad Asociativa: No importa cómo agrupes los elementos de un conjunto cuando sumas o multiplicas, el resultado siempre será el mismo.

Ejemplo: (a x b x c + d + e) = (b + c x d x e + a)

Propiedad Distributiva: La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número.

Ejemplo: a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Propiedad del Elemento Neutro: El producto de cualquier número multiplicado por 1 es ese mismo número.

_ CONJUNTOS NUMÉRICOS: NZQ.

• Numeros Naturales.

La necesidad de contar desembocó directamente en la creación y el uso de los números naturales. Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por y están formados por los números 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivos.

• Numeros Enteros.

La insuficiencia de los números naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los números enteros. Se denotan por y estan formados por los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, .

• Numeros Racionales.

La insuficiencia de los números enteros para denominar partes de unidad lleva directamente a los números racionales. Se denotan por y son todos aquellos que se pueden expresar de la forma donde y son enteros y . Estos pueden ser enteros (en el caso en que ), decimales finitos o decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales incluye a los enteros, .

_CONJUNTO R DE LOS NÚMEROS REALES.

Este conjunto es constituido por los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.

Ejemplos de números irracionales son

√ 2 = 1.4142135623730951. . . π = 3.141592653589793 . . .

_OPERACIONES EN R 2 EJEMPLOS.

• Sumar números reales.

Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).

Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.

La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos será un número negativo.

Ejemplos.

-5 + (-9)

Solución:

Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.

Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo negativo

...