Matematica

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Raimundo Alba García José María Vázquez de la Torre Prieto

Índice General

I Introducción 2

II Interés simple y compuesto 4

III Ley nanciera de capitalización compuesta 6

IV Tanto nominal. Nueva fórmula para el interés compuesto 9

V Préstamos 12

VI Método de amortización francés 15

VI.1.Relación entre capital inicial, interés nominal y tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

VI.2.Cuotas de interés y de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

VII T.A.E.: Tasa Anual Equivalente 21

VIII Bibliografía 24

1

Parte I

Introducción

2

Nuestra intención es encender una luz en el mundo de los préstamos para aquellos que como nosotros

no son anes al campo de las nanzas. ¾Quién no se ha encontrado en la situación del futuro matrimonio

que nos ayudará en nuestra exposición?

Les comentamos el caso de Borja y María: Dentro de dos meses se casan y acaban de pagar una

entrada para un piso. Aún así, les quedan por pagar 60.000 euros, por lo que deciden negociar con una

entidad bancaria para que les preste este dinero. El Banco X les ofrece un préstamo hipotecario a 4'5%

de interés nominal pagadero en cuotas mensuales.

Es en esta última frase donde Borja y María se pierden y lo único que les interesa es conocer la

respuesta a la pregunta del millón: ¾cómo quedaría la cuota mensual? A lo que les responde el empleado

bancario que la cuota sería de 380 euros. El matrimonio ante la respuesta asiente y se conforma, ya

que en estos últimos días han visitado otras entidades bancarias y han visto que ese interés nominal es

un poquito más bajo que el que le ofrecían en otras (4'75, 4'63, ...), y por lógica la cuota debe ser más

baja.

Pero siempre quedarán algunas preguntas en el aire: ¾estará bien calculada la cuota? ¾cómo se

calcula? ¾cuánto acabaríamos pagando al nal?. Sabemos que con la cuota se paga parte del préstamo

o capital concedido, siendo la otra parte de interés. ¾Cómo se calcula esa parte de capital que se paga?

(el resto será de interés).

Siempre es bueno al menos conocer la fórmula con la que se calcula la cuota y el capital pagado,

aparte de por curiosidad por seguridad (no sería la primera vez que un prestamista se equivocase).

Es nuestra intención responder a éstas y otras preguntas que se pueden plantear. Para hacer esta

tarea lo más grata al lector se ha procurado desarrollar el tema sin caer demasiado en tecnicismos

nancieros, aunque se introducen los términos más usuales. Si bien, debido a nuestra condición de

licenciados en Ciencias Matemáticas, no hemos podido evitar realizar un desarrollo matemático riguroso

para la deducción de la mayoría de las fórmulas que aparecen, aunque a todo aquel que sólo le interese

conocer las fórmulas sólo tendrá que saltarse dicho desarrollo.

Por último, señalar que en las fórmulas aparecen subíndices (ik, k es el subíndice) lo que entraña una

dicultad para todo aquel no acostumbrado en el cálculo simbólico de las Matemáticas, pero optamos

por no eliminarlo para precisamente mantener la rigurosidad matemática. Para salvar esta dicultad se

han añadido ejemplos con el manejo de las fórmulas.

3

Parte II

Interés simple y compuesto

4

Es imprescindible para comprender el mundo de los préstamos, entender el concepto de interés simple

e interés compuesto. Pongamos un ejemplo de cada tipo para intentar comprender en qué consiste cada

interés:

Interés simple: Borja tiene 100 euros y desea depositarlos en un banco, el cual le ofrece un interés

anual del 6%, es decir, al cabo de un año el banco le devuelve 100 euros más el 6% de 100 (6 euros de

interés), luego le devuelve 106 euros.

A Borja le ha gustado esta operación y vuelve a realizar la misma operación con los 100 euros, ya que

los 6 euros decide gastárselos. Entonces al cabo del segundo año se encontraría de nuevo con 106 euros.

En dos años ha pasado de 100 euros a 112, ya que le ha añadido 6 cada año a los 100 primeros. Si esto

lo hiciéramos durante varios años, podríamos resumirlo en la siguiente tabla:

Año 0 1 2 3 4

Capital total 100 106 112 118 124

Interés compuesto: Supongamos ahora que María realiza la misma operación que Borja el primer

año, transcurrido el cuál tendrá 106 euros. María decide al igual que su novio en volver a depositar en

el banco el dinero, pero ella no deposita sólo los 100 euros, sino que añade el interés conseguido. La

situación sería que el 6% en el segundo año se debe calcular sobre 106 euros, y este interés sería de

106 ·

6

100

Al nal del segundo año, María tendría 112'36 euros , y si continuásemos el proceso, calculando siempre

el 6% sobre el capital obtenido el año anterior, los primeros años quedarían reejados en la siguiente

tabla:

Año 0 1 2 3 4

Capital total 100 106 112'36 119'1016 126'247696

La diferencia entre los dos tipos de interés es evidente, en el primer caso, los intereses no se acumulan al

capital, pero en el segundo si lo hacen, siendo este segundo caso más benecioso para la parte que aporta

el dinero. El proceso que consiste en sumar al capital inicial el interés correspondiente al tiempo que

dura la inversión o el préstamo se le llama capitalización. En nuestros dos ejemplos, tras cuatro años

el proceso de capitalización ha dado dos cantidades distintas, que se han obtenido mediante las llamadas

leyes nancieras de capitalización simple y compuesta, respectivamente.

Habitualmente, el interés compuesto o la llamada ley nanciera de capitalización compuesta es

la que se utiliza en los préstamos. La razón es evidente, porque si el banco nos prestase 5.000 euros es

más benecioso para ellos que el interés que tengamos pactado sea un interés compuesto, se acumularían

más intereses a lo largo del tiempo.

5

Parte III

Ley nanciera de capitalización

compuesta

6

En este apartado pretendemos describir el cálculo de la fórmula que nos determina el capital nal (C')

tras aplicarle un determinado interés compuesto(i) a un capital inicial (C). El cálculo de dicha fórmula

es prescindible en

...