Matematicas Limite

LÍMITE Y CONTINUIDAD EN ‘8

3.1. EL LÍMITE CONTINUO EN ‘8

La noción de límite continuo para funciones de varias variables

reales tiene exactamente el mismo sentido que para el caso de una sola

variable: se trata de matematizar la idea de un acercamiento infinito de los

valores de una función a un cierto valor, bajo la condición de que el

vector variable esté cercano a cierto punto. Lo único que infinitamente

cambia es la manera en que se realiza el acercamiento: mientras que en el

caso real el acercamiento puede ser realizado desde la izquierda o desde la

derecha, lo que conduce a las nociones de límites laterales, en el caso de

varias variables, el acercamiento no tiene un sentido definido: puede ser

por rectas o por curvas o sin ningún orden. La cercanía, desde luego,

queda caracterizada por las vecindades dadas por las respectivas normas.

Presentaremos la definición general de límite para funciones de variable

vectorial y valores vectoriales:

DEFINICIÓN. Sea , El límite de la 0À © B − Þ W ‘ Ò‘ W 8 7

9

w

función es el vector en símbolos : 0 P− ß ‘

7

lim

BÄB9

0 ÐBÑ œ P

si acaso:

Y − Ê Ò b Z − • 0 ÐZ ∩  ÖB ×Ñ © Y Ó jjW PB 9 9

La figura 3.1 ilustra esta definición. Debe notarse que esta figura es la

misma que la que se utilizó para una sola variable. Se trata de una figura

que para funciones reales era abstracta, pero que para dimensión 2 , por

ejemplo, puede ser muy realista. Aquí, tal como en el caso de una89

dimensión, el vector se acerca a pero mientras que el B B9 sin tocarlo,

vector imágen se acerca y puede coincidir con su vector límite 0 ÐBÑ PÞ

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