Matematicas

FUNDAMENTOS TEORICOS BÁSICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS REALCIONADOS CON EL NÚMERO Y SUS PROPIEDADES

Problemas relacionados con MCM Y mcd.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

• El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes.

• Para hallar el máximo común divisor de dos o más números, por ejemplo, m.c.d. (12, 18), se sigue el siguiente algoritmo:

1. Se descompone cada número en producto de factores primos.

2. Se toman los factores comunes con su menor exponente y se realiza su producto

MODELACION

.

Halla el máximo común divisor de los siguientes pares de números.

12 2 18 2

6 2 9 3

3 3 3 3

1 1

12 = 22 x 31 18 = 21 x 32

m.c.d. (12, 18) = 21 x 31 = 6

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

• El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números es el menor de los múltiplos de los números en mención.

• Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números, por ejemplo, mcm (12, 15 y 8), se sigue el siguiente algoritmo.

1. Se descompone cada número en producto de factores primos.

2. Se toman los factores comunes y no comunes con su mayor exponente y se realiza su producto

12 2 15 3 8 2

6 2 5 5 4 2

3 3 1 2 2

1 1

12 = 22 x 31 15 = 31 x 51 8=23

mcm. (12, 15,8) = 23 x 31 x51= 120

PROBLEMAS RELACIONADOS CON MCM Y MCD

1. Un carpintero dispone de 2 listones de 200 cm de ancho por 325 cm respectivamente y desea cortarla en partes iguales lo más grande posible para hacer una biblioteca. ¿Cuál debe ser la longitud de cada parte?

SOLUCION

200 2 325 5

100 2 65 5

50 2 13 13

25 5 1

5 5

1

200=23x52 325=52 x13

Tomamos los factores comunes con su menor exponente

Mcd= 52

Mcd= 25

Los listones se deben cortar en trozos de 25 cm

2. María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola.

a) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer?

b) ¿Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar?

SOLUCION

25 5 15 3 90 2

5 5 5 5 45 3

1 1 15 3

5 5

1

25=52 15=31 x 51 90=21x32x51

Tomamos los factores comunes con su menor exponente

Mcd= 51

Mcd= 5

Podemos formar 5 collares iguales

Para saber el número de bolas de cada color que debe tener un collar, debemos dividir el número de bolas de cada color entre el número de collares que se pueden hacer:

BLANCAS= 25/5 = 5

AZULES = 15/5 = 3

ROJAS = 90/5 = 18

3. Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la señal.

a) ¿Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir?

b) ¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos?

SOLUCIÓN

60 2 150 2 360 2

30 2 75 3 180 2

15 3 25 5 90 2

5 5 5 5 45 3

1 1 15 3

5 5

1

60=22x31x51 150=21x31x52 360=23x32x51

Tomamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente

MCM= 23 x32x52

MCM=1800 minutos

A) La pregunta es cuántas horas han pasado para coincidir las señales

1800min/60min/hr =3 hr

B) La hora inicial fue las 9 am, entonces la señales vuelven a coincidir a las 9 + 3 = 12m

4. Ana tiene en su tienda las galletas metidas en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 galletas cada una y no sobra ninguna galleta. En la caja B tiene bolsitas de 20 galletas cada una y tampoco sobra ninguna galleta. El número de galletas que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. ¿Cuántas galletas como mínimo hay en cada caja?

SOLUCIÓN

24 2 20 2

12 2 10 5

6 2 5 5

3 3 1

1

60=23x31 20=21x52

Tomamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente

MCM= 23 x31x52

MCM= 600

600 es el número de galletas mínimo que hay en cada caja

SIMULACIÓN

Identifica las palabras que indican si se trata de una situación problema en la que hay que aplicar el mcd o mcm y de acuerdo a esto resuelve la situación como aparece en la modelación.

1. Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va a Sevilla cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en Sevilla los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Sevilla?

2. En una discoteca se enciende una luz roja cada 12 segundos, otra luz azul cada 18 segundos y una tercera luz roja cada minuto. Las luces se encienden al tiempo a las 10: 30 pm, a los 5 minutos cuántas veces habrán coincidido.

3. Un artesano dispone de

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