Matematicas

Resuelve el problema utilizando los conceptos matemáticos de optimización.

A partir de una hoja de máquina tamaño carta A4 cuyas medidas son aproximadamente 21cm de ancho y 30cm de largo, se desea construir una caja rectangular sin tapa recortando un cuadrado de cada esquina de "x" cm.

Obtener las dimensiones de la caja: ancho, largo y alto, para que la caja encierre un volumen máximo.

Responde a las siguientes preguntas:

Cuánto va a medir el ancho de la caja al recortarle los cuadrados en cada esquina: 21-2x

Cuánto va a medir el largo de la caja al recortarle los cuadrados en cada esquina: 30-2x

Con los resultados anteriores, plantear la ecuación matemática para el volumen de la caja en función de "x"

v(x)=〖4x〗^3-〖102x〗^2+630x

Obtener los puntos críticos de la función volumen

x_1=4.05

x_2=12.94

Utilizar el criterio de la primera derivada para obtener el valor de "x" con el cual el volumen es máximo

v(x)^'=〖12x〗^2-204x+630

Factorizando la ecuación

6(〖2x〗^2-34x+105

Igualando la ecuación a 0

6(〖2x〗^2-34x+105=0

〖2x〗^2-34x+105=0

Aplicando la formula general nos quedan lo valores para los puntos críticos

x_1=4.05

x_2=12.94

Tomando en cuenta que el dominio de la función es:

D→x∈[0,21/2]

D→x∈[0,10.5]

Aplicando la segunda derivada

v(x)´´=24x-204

Sustituyendo el valor de x dentro del dominio de la función

24(4.05)-204= -106.8

Calculando el volumen

v(x)=〖4x〗^3-〖102x〗^2+630x

v(4.05)=〖4(4.05)〗^3-〖102(4.05)〗^2+630(4.05)

Vmax=1144.17 〖cm〗^3

Dar la respuesta al problema:

Dimensiones de la caja con volumen máximo:

Ancho: 21-2(4.05)=12.9

Largo: 30-2(4.05)=21.9

Alto: 4.05

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