Matematicas

3 x −5 = = = 2 2 2 dx (3 x − 1) (3 x − 1) (3 x − 1)

El resultado de la derivación implícita fue:

dy 1+ 3 y =− dx 3 x −1

Sustituyendo en la anterior por la ecuación de y nos queda el mismo resultado. En efecto:

⎡ 2− x ⎤ 3 x −1 + 6 − 3 x ⎥ 1+ 3⎢ dy 5 ⎢⎣ 3 x − 1 ⎥⎦ 3 x −1 =− =− =− 2 dx 3 x −1 3 x −1 (3 x − 1)

Es claro que si todas las funciones implícitas pudieran escribirse como funciones explícitas, no sería muy útil la regla de la derivación de funciones implícitas. La utilidad de la derivación implícita consiste en que en algunos casos no podemos, o resulta muy complejo, escribir la función explícita, como vemos en el ejemplo siguiente. 2. x + y = 6 xy o bien, F x + y − 6 x y = 0

3 3

(

3

3

)

∂F = 3 x 2 − 6 y; ∂x

∂F = 3 y 2 − 6 x; ∂y

2

Luego, la derivada implícita buscada es:

3 x2 − 2 y 2 y − x2 dy 3 x2 − 6 y =− 2 =− = 2 ; 2 dx 3 y −6x 3 y − 2x y −2x

( (

) ( ) (

(

) )

3. 2 x + 6 xy + y = 18 o bien, F 2 x + 6 xy + y

2 2

2

2

) = 18

∂F = Fx = 4 x +

...