Matriz Adjunta

Matriz invertible

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A-1, tal que:

A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I_{n} ,

donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

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Ejemplos[editar · editar fuente]

Matriz de dos filas[editar · editar fuente]

Por ejemplo la inversa de la matriz

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}

es

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \quad = \quad \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}

porque

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} \quad = \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Propiedades de la matriz inversa[editar · editar fuente]

La inversa de una matriz, si existe, es única.

La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

\left (A \cdot B \right ) ^{-1} = {B}^{-1} \cdot {A}^{-1}

Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

\left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}

Y, evidentemente:

\left(A^{-1}\right)^{-1} = A

Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

{A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \operatorname{adj} (A^{T}) \

donde { {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} es el determinante de A y \operatorname{adj}{(A)} \ es la matriz de adjuntos de A.

Demostración de la unicidad de la inversa[editar · editar fuente]

Supongamos que B y C son inversas de A

AB=BA=I

AC=CA=I

Multiplicando por C

(BA)C=IC=C

(BA)C=B(AC)=BI=B

De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.

Demostración del criterio de inversibilidad de las matrices cuadradas[editar · editar fuente]

Se probará la doble implicación.

Suficiencia (\Rightarrow)[editar · editar fuente]

Suponiendo que existe B tal que AB = BA = I. Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

\det\left(AB\right)=\det\left(BA\right)=\det\left(I\right)

usando la propiedad \det(I) = 1

\det\left(A\right)\det\left(B\right)=1

Por lo tanto, \det(A) es distinto de cero.

\det\left(A\right)\neq0

Necesidad (\Leftarrow)[editar · editar fuente]

Suponiendo que el determinante de A es distinto de cero, sea a_{ij} es el elemento ij de la matriz A y sea A_{ij} la matriz A sin la fila i y la columna j (comúnmente conocida como j-ésimo menor de A). Entonces

\det(A)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})

Sea k\neq j, entonces

\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0

Esta afirmación es válida propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación nos conduce a una matriz con la columna j igual a la columna k y los demás términos iguales a los de A. Entonces

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