Media Aritmética

Media aritmética.

La media aritmética es el promedio más conocido.

2.1 Definición y notación. La media aritmética de una serie estadística, denotada , es el valor que sustituido por cada término produce una suma igual a la de todos los términos.

Comprendamos la definición. Se establece que si  es la media aritmética de los términos a, b, c, d y e; entonces se tiene que:

Si a + b + c + d + e = S, entonces:

 +  +  +  +  = S

Un ejemplo numérico es el siguiente. Para los datos siguientes 5, 3, 6, 7, 4, 5, 3, 7 la media aritmética es  = 5. Esto significa que:

5 + 3 + 6 + 7 + 4 + 5 + 3 + 7 = 40

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40

2.2 Cálculo de la media aritmética.

Cuando se tienen datos no agrupados, la media aritmética se calcula mediante la fórmula

 = ∑ Xi .

Pero puede ocurrir que los datos estén agrupados en frecuencias, entonces la fórmula es:

 = ∑ fi Xi . Siendo fi la frecuencia con que se repite el dato Xi.

La anterior ecuación se utiliza para datos muestrales. Algunos libros, para especificar que se trata de datos poblacionales, utilizan μ en vez de , y N en vez de n. Aquí utilizaremos  para la media y n para los datos. Cuando sea necesario, especificaremos si son datos poblacionales o muestrales.

Ejemplo. Para los datos dados, calcular . Luego agruparlos en frecuencias y calcular de nuevo .

Datos: 5, 8, 8, 4, 7, 9, 8, 8, 7, 2, 4, 6, 5, 8, 7, 4, 2, 4, 8, 7, 5.

 Solución.

El número de datos es: n = 21.

La sumatoria de los datos es:

∑Xi = 5 + 8 + 8 + 4 + 7 + 9 + 8 + 8 + 7 + 2 + 4 + 6 + 5 + 8 + 7 + 4 + 2 + 4 + 8 + 7 + 5 = 126.

 = ∑ Xi = 126/21 = 6.

Calculemos  agrupando los datos en frecuencias:

Datos

2

4

5

6

7

8

9

F

2

4

3

1

4

6

1

Apliquemos la fórmula:

∑ fi Xi = 2x2 + 4x4 + 3x5 + 6 + 4x7 + 6x8 + 9 = 4 + 16 + 15 + 6 + 28 + 48 + 9 = 126.

 = ∑ fi Xi = 126 = 6.

  para datos agrupados en clases y frecuencias.

Cuando los datos están agrupados en clases y frecuencias,  se calcula mediante la fórmula:

 = ∑ fi Pmi

n

Ejemplo. Para los datos de la tabla, calcular .

Tiempos

Pm

Corredores (f)

1.7 2.34

2.02

17

2.34 2.98

2.66

7

2.98 3.62

3.3

3

3.62 4.26

3.94

22

4.26 4.9

4.58

15

Suma = 64

 Solución.

 = ∑ fi Pmi = 17x2.02 + 7x2.66 + 3x3.3 + 22x3.94 + 15x4.58

64

= (34.34 + 18.62 + 9.9 + 86.68 + 68.7) / 64 = 218.24 / 64 = 3.41

Con este ejemplo se puede apreciar una utilidad de tener los datos agrupados en clases y frecuencias.

También puede apreciarse el valor de Pm, pues es el dato que mejor representa a todos los de su clase.

2.3 Propiedades de la media aritmética.

1. La sumatoria de las restas de cada término respecto de la media es igual a cero.

Comprobemos la anterior propiedad con un caso sencillo. Se tiene que para los datos 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9.

La sumatoria de las restas de cada término respecto de la media es la siguiente:

(9 – 5) + (9 – 7) + (9 – 9) + (9 – 11) + (9 – 13) =

(4) + (2) + (0) + (-2) + (-4) = 4 + 2 + 0 -2 -4 = 4-4 + 2-2 = 0

Se cumple que La sumatoria de las restas de cada término respecto de la media es igual a cero.

2. Media aritmética de una constante.

Esta propiedad nos dice que si una serie de datos está formada por la repetición de un mismo dato, la media aritmética es ese dato constante. Para el caso se tiene que la media aritmética de 8, 8, 8, 8, 8, 8... es 8.

3. Media aritmética del producto de una constante por una variable.

Ya vimos que para 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9. Multipliquemos cada número por la constante 5. Obtenemos: 25, 35, 45, 55 y 65. La media aritmética de estos números es 45. Pero 45 es el producto

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