Metodos De Una Sucesion Cudratica

Para la obtención del término general de una sucesión aritmética cuadrática (o de segundo grado) existe una expresión matemática que contiene términos combinatorios, sin embargo en esta oportunidad se trata de ver un método práctico y simple para obtenerlo.

Por mi corta experiencia como profesor de matemáticas al alumno, en lo posible, se le debe brindar métodos prácticos para la solución de los problemas planteados en clase.

Consideremos la siguiente sucesión de "n" términos:

t 0, t 1, t 2, t 3, ... t n - 1

Aplicando el método de las diferencias tendremos

Método de las Diferencias

Si todas las Segunda Diferencias son constantes (se estabilizan) la sucesión dada se trata de una sucesión aritmética cuadrática o de segundo orden

El témino general t n de la misma viene dado por

t n = a n 2 + b n + c

El método de las diferencias consiste en efectuar diferencias (restas) enter téminos consecutivos de una sucesión

Si los resultados son diferentes se procede nuevamente a efecturar la diferencia entre los resultados consecutivos y así sucesivamente. Lo que se trata de hacer es que, en algún momento, las diferencias sean constantes

Cálculo de los coeficientes a, b y c

Para t = 0 resulta t 0 = c

Como t 1 - t 0 = m 0

t 1 - t 0 = a + b + c - c = m 0

es decir

a + b = m 0

y por último, siguiendo el mismo procedimiento

m 1 = t 2 - t 1 = 4a + 2b + c - a - b - c = 3a + b

r = m 1 - m 0 = 2a

Para determinar los coeficientes a, b y c basta resolver el sistema de ecuaciones

Un ejemplo

Calcular t 35 en la sucesión

3, 6, 13, 24, 39

Aplicando el método de las diferencias, comprobemos que se trata de una sucesión aritmética cuadrada

Resolviendo el sistema tendremos a = 2, b = 1 y c = 3 de donde

t n = 2 n 2 + n + 3

Finalmente, haciendo n = 35 resulta

Nótese que el témino trigésimo quinto (t 35) ocupa el lugar 36 en la sucesión.

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