Modele De Contagion De Faillite

Mod`ele de contagion de d ́efauts

Marta Vigano & Zhen-Yang Chen January 21, 2014

1 Contexte

Figure 1: structure d’un CBO

Lors d’une transaction CBO (”Colleteralized Bond Obligation”), des in- vestisseurs ach`etent un coupon d’obligation dans un portefeuille via un SPV (”Special Purpose Vehicle”), qui est une entreprise cr ́e ́ee pour cette transac- tion et qui est dissoute aussitoˆt que la transaction est achev ́ee, c’est-a`-dire lorsque le coupon est revendu. On diff ́erencie deux types d’investisseurs: les obligataires et les investisseurs d’action. Les premiers peuvent repr ́esenter env- iron 85% de l’investissemnt initial et n’auront qu’un b ́en ́efice faible par rapport a` ce que peux recevoir les investiseeurs d’action (jusqu’a` 20% d’exc`es par rap- port a` l’investissement initial). Cependant, si les obligataires sont prioritaires dans la restitution de l’investissement avec un taux d’int ́erˆet, certes faible, mais garanti par le SPV, les investisseurs d’action n’ont aucune garantie ni sur le repaiement de leur investissement, ni sur l’ ́eventuel taux d’int ́erˆet. Les investis- seurs d’action sont donc les seuls a` pouvoir montrer une perte sur la transaction. Ce risque encouru est contrebalanc ́e par le profit plus important dont ils peuvent b ́en ́eficier.

Les performances d’une transaction CBO sont enti`erement li ́es a` la qualit ́e du porte-feuille en question. Des entreprises de cotation, telles que Standard & Poors ou Moody’s, evaluent alors les titres en consid ́erant par exemple des crit`eres comme la dette de l’entreprise ou individuelle. Les titres les moins bien cot ́ees pr ́esentent des rendements possibles plus ́elev ́es pour compenser le risque qu’ils pr ́esentent. Afin de r ́eduire le risque de d ́efaut de paiement, un investisseur a alors tout int ́erˆet de diversifier ses titres, c’est a` dire, pr ́ef ́erer investir dans plusieurs titres avec un rendement moyen plutoˆt qu’investir dans un unique titre a` rendement plus ́elev ́e et ainsi ́eviter la concentration de risques.

Pour optimiser les transactions CBO, le probl`eme est de savoir a` quel point la diversification des titres est efficace. Moody’s propose le calcul d’un ”diversity score” (un nombre qui repr ́esente la diversit ́e des titres) reposant sur la technique du BET (”Binomial Expansion Technique”). Dans cette technique, on consid`ere

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un portefeuille de n obligations identiques qui ont chacune une probabilit ́e p de faire d ́efaut ind ́ependamment des autres .

2 Mod`ele de Davis et Lo

Soient (Xi;i = 1,...,n) les variables al ́eatoires de Bernoulli associ ́ees a` ces obligations telles que Xi = 1 si l’obligation i fait d ́efaut et Xi = 0 sinon. Si on note N le nombre de d ́efauts dans ce portefeuille, alors

n

N

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