Modelo IS - LM

Modelo IS – LM

El modelo IS – LM, está inspirado en las ideas de Keynes pero además aporta a sus ideas con las de los modelos neoclásicos en la tradición de Marshall; fue elaborado inicialmente por John Hicks en 1937 y desarrollado y popularizado después por Alvin Hansen, es por ello que también este modelo es llamado, modelo de Hicks – Hansen.

Este modelo es un modelo macroeconómico de la demanda agregada que busca describir el equilibro de la renta nacional y los tipos de interés de un sistema económico el cual permite plantear una explicación sobre las consecuencias de las decisiones del gobierno en materia de política fiscal y monetaria.

Supuestos del modelo:

Estamos en una economía cerrada y se busca representar el equilibrio económico a corto plazo.

No existe neutralidad de dinero, es decir que el dinero cambiara en igual proporción a las demás variables y es preciso que exista equilibrio simultáneamente en ambos mercados.

La velocidad de ajuste es igual a la unidad, es decir que α y βson igual a 1.

La renta nacional aumenta en respuesta al exceso de demanda agregada, donde se representa la velocidad de ajuste. (Para ello necesitamos linealizar la ecuación, aplicando logaritmo neperiano a ambas ecuaciones)

Y ̇_t=e^α(D_t-S_t ) (1)

〖lnY ̇〗_t=lne^α(D_t-S_t )

y ̇_t=α(D_t-S_t ) (2)

Donde Y ̇_t es la renta nacional, (D_t-S_t ) es el exceso de demanda agregada, es decir la diferencia entre demanda agregada y oferta agregada

Tasa de interés real r_t, aumenta en respuesta al exceso de demanda de dinero. Es decir la diferencia de demanda y oferta de dinero〖(L(Y)〗_t-M ̅_t).

r ̇_t=[〖L(Y)〗_t-M ̅_t ]β (3)

La demanda agregada D_t viene dada por la suma del consumo y la inversión.

D_t=C_t+I_t (4)

La ecuación del consumo es una función no lineal de la renta. (Para ello necesitamos linealizar la ecuación del consumo, aplicando logaritmos neperianos)

C_t=〖Y_t〗^φ (5)

ln⁡〖C_t 〗=ln⁡〖〖Y_t〗^φ 〗

c_t=φ ln⁡〖〖Y_t〗^φ 〗

c_t=φy_t (6)

y_t=ln⁡(Y_t )

(y_t ) ̇=(Y_t ) ̇/Y_t (7)

La ecuación de la inversión es una función lineal de la tasa de interés real.

I_t=-θr_t (8)

La oferta agregada va a ser igual a la producción nacional de bienes y servicios

S_t=Y_t (9)

La propensión marginal a ahorra “s” en términos de la propensión marginal al consumo vendrá dada por la siguiente ecuación:

s_t≡1-φ (10)

La demanda de dinero es una función no lineal creciente de la renta. (Para ello necesitamos linealizar la ecuación, multiplicando por el logaritmo neperiano)

Donde k > 0

〖L(Y)〗_t=〖Y_t〗^k (11)

ln⁡〖〖L(Y)〗_t 〗=ln⁡〖〖Y_t〗^k 〗

〖l(Y)〗_t=k ln⁡〖Y_t 〗

〖l(Y)〗_t=ky_t (12)

y_t=ln⁡〖Y_t 〗

(y_t ) ̇=(Y_t ) ̇/Y_t (13)

La oferta de dinero “M” es realizada por el banco central de reserva

Resolución del Modelo.

Para poder establecer las ecuaciones correspondientes al mercado de bienes y servicios “IS” y al mercado financiero “LM”, primero tenemos que despejar las ecuaciones correspondientes.

Primero reemplazamos (4) y (9) en (2), por lo tanto la velocidad de ajuste es α=1, de lo cual obtenemos:

y ̇_t=(C_t+I_t-Y_t ) (14)

Asimismo Reemplazando (12) en (3):

r ̇_t=[k_t y_t-M_t ] (15)

En segundo lugar reemplazando (6) y (8) en (14)

y ̇_t=(φy_t-θr_t-y_t ) (16)

y ̇_t=(φy_t-y_t)-θr_t

y ̇_t=-y_t (1-φ)-θr_t (17)

En tercer lugar reemplazando (10) en (17)

(y_t ) ̇=-s_t y_t-θr_t

Entonces las ecuaciones IS y LM vendrían representadas de la siguiente manera:

(y_t ) ̇=-s_t y_t-θr_t ⟹IS

r ̇_t=ky ̅_t-M ̅_t⟹LM

En efecto el sistema de ecuaciones que define el comportamiento dinámico del modelo IS – LM, viene expresado de esta forma matricialmente:

[█((y_t ) ̇@r ̇_t )]=⏞([■(-s&-θ@k&0)] )┴A [█(y@r)]+⏞([█(0@-M ̅ )] )┴b ̅

Análisis Cualitativo.

Ahora vamos a realizar el análisis de estabilidad del modelo, para ello tenemos que determinar lo siguiente. (La traza, el determinante y el discriminantes).

trA=-s

|A| =kθ

∆ =s^2+4(kθ)

Polinomio característico

P(λ)=|■(-s-λ&-θ@k&0-λ)| =0

P(λ)=[(-s-λ)(-λ)]-[(k)(-θ)]

P(λ)=[λ^2+sλ +kθ]

Los autovalores o raícescaracterísticas son:

λ_1=(trA+ √Δ)/2 ⟹λ_1=(-s + √(s^2+4(kθ)))/2

λ_2=(trA+ √Δ)/2⟹λ_2=(-s-√(s^2+4(kθ)))/2

Caso I

Cuando ∆ >0 es decir ∆=〖(TrA)〗^2-4|A|>0

Determinamos los autovalores:

λ_1=(trA+ √Δ)/2=(-s+√(〖(-s)〗^2-4(kθ) ))/2=<0

λ_2=(trA+ √Δ)/2=(-s-√((-〖s)〗^2-4(kθ) ))/2=<0

El autovector V ⃗_1viene dado por:

[■(-s-λ_(1 )&-α@k&-λ_(1 ) )].[■(a@b)]=[■(0@0)]

(-s-λ_1 )a-θb=0 ∧ ka-λ_1 b=0

k/λ_1 a=b

V ⃗_1=[■(1@k/λ_1 )]

Autovector V ⃗_2 viene dado por:

[■(-s-λ_(2 )&-α@k&-λ_(2 ) )].[■(c@d)]=[■(0@0)]

(-s-λ_2 )c-θd=0 ∧ kc-λ_2 d=0

k/λ_2 c=d

V ⃗_2=[■(1@k/λ_2 )]

Los puntos de equilibrio viene dado por:

[■(y^E@r^E )]= -A^(-1) (.b) ⃗=[■(-M/K@SM/Kθ)]

Determinamos las ceroclinas a partir de:

(y_t ) ̇=-sy-θr =0

(r_t ) ̇=ky ̅-M ̅ =0

Cuando:

(y_t ) ̇=0

θ=-sy-θr⟹r_t=-sy/θ

Cuando:

r ̇_t=0

ky=M ̅⟹y_t=M ̅_t/k

Determinamos las gradientes para obtener las líneas de fuerza dinámica.

∇f_((y_t;r_t))=[■(-s@-θ)]=[■(<0@<0)]

∇g_((y_t;r_t))=[■(k@0)]=[■(>0@=0)]

Caso II

Cuando ∆ =0 es decir ∆=〖(TrA)〗^2-4|A|=0

Determinamos los autovalores:

λ_1=(trA+ √Δ)/2=(-s–√(0 ))/2=(-s)/2<0

λ_2=(trA+

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