Máximo y mínimos y gráfica de una función

Actividad 3. Máximo y mínimos y gráfica de una función

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas de máximos y mínimos, así como su representación gráfica de una función.

Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen máximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura:

Hallar las dimensiones de dicho cilindro.

El volumen del cilindro se calcula con la formula V=πr^2 h

Para poner el volumen en función de una variable, relacionamos r y h por semejanza de triángulos.

r/R=(H-h)/H

Donde

h=(HR-rH)/R

Aplicando a la formula

V=πr^2 h=πr^2 ((HR-rH)/R)=πH/R (r^2 R-r^3 )

Derivamos para r

dV/dr=πH/R (2rR-〖3r〗^2 )

0= πH/R (r^2 R-r^3 )=2/3 R

Sustituimos r en h

h=(HR-rH)/R=(HR-2/3 RH)/R=1/3 H

Sustituimos valores reales siendo H=24 y R=10

r=2/3 10=6.6

h=1/3 24=8.0

Dada la función y el punto hallar el punto sobre la gráfica de que está más cerca de .

Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a y cuyo producto sea máximo.

Definimos las variables como ecuaciones

x + y = 100

xy = M

Despejamos y

x + y = 100

y = 100 - x

Sustituimos

xy = M

x(100 - x) = M

100x - x² = M

Marcamos la función

f(x) = 100x - x²

Derivamos:

f '(x) = 100 - 2x

100 - 2x = 0

100 = 2x

100/2 = x

50 = x

f(50) = 30(50) – (50)²

f(50) = 1500 - 2500

f(50) = -1000

El punto es (50, -1000).

En un río de de ancho están ubicados dos puntos y uno frente a otro y del mismo lado de hay un tercer punto ubicado a de tal forma que el segmento es perpendicular a . Una compañía de energía eléctrica quiere tender un cable desde hasta parando por el punto , como lo muestra a figura:

Si el costo por metro del cable bajo tierra es más barato que el cable bajo el agua. ¿Cómo se debe tender el cable para que el costo sea mínimo?

Si D es el punto sobre la misma orilla y a una distancia x de B donde termina el tramo de cable, definimos las variables

Distancia entre B y D es 0≤x≤500

Distancia entre A y D es y

Distancia entre D y C es 500-x

Constante de costo de metro por tierra k

Constante de costo de metro por agua 1.3k

Costo total P

Por el teorema

y=√(x^2+〖250〗^2 )

La función de costo es

C=(1.3k)y+k(500-x)

Sustituimos

C(x)=(1.3k) √(x^2+〖250〗^2 )+k(500-x)

C(x)=(1.3k) (x^2+〖250〗^2 )^(1/2)+k(500-x)

Derivando

C^' (x)=(1.3k) 1/2 (2x) (x^2+〖250〗^2 )^(-1/2)+k=0

No entiendo

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