Máximo y mínimos y gráfica de una función

Actividad 3. Máximo y mínimos y gráfica de una función

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas de máximos y mínimos, así como su representación gráfica de una función.

Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen máximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura:

Hallar las dimensiones de dicho cilindro.

El cilindro tendrá un radio r y una altura h. Con lo cual su volumen será:

V = π•h•r^2

Pero el hecho de estar inscrito en el cono hace que a cada radio del cilindro le corresponde una única altura y viceversa

r=10 →> h=0

r=0 →h=24

Si incrementamos r en 10 dismininuye h en 24

Si incrementamos r en x disminuye h en 24x/10

h = 24 -24r/10 =(240-24r)/10 =(120-12r)/5

Luego podemos poner el volumen solo en función del radio

V(r) = π•[(120-12r)/5] r^2 = (π/5)(120r^2 - 12r^3)

Y ahora derivamos e igualamos a 0 para calcular el máximo

V'(r) =(π/5)(240r -36r^2) = 0

240r - 36r^2 = 0

r(240-36r) = 0

Una solución es r=0

Y la otra

240 - 36 r = 0

r =240/36 =20/3

segunda derivada

V''(r) = (π/5)(240 - 72r)

V''(0) =240π/5 >0 Luego es mínimo

V^'' (20/3)= (π/5)(240 -72•20/3)=(π/5)(720-1440)/3 =-(π/5)•720/3 <0

Luego máximo

Y ahora calculamos la altura

h =(120-12r)/5 =((120 - 12•20/3))/5 =(120-80)/5 = 8

Luego la solución es

r =20/3 = 6.6666

h = 8

Dada la función y el punto hallar el punto sobre la gráfica de que está más cerca de .

Los puntos de la función tendrán la forma

(x,x^2-3x)

Y su distancia al punto (5,-5) es

√(〖(x-5)〗^2 + 〖(x^2-3x+5)〗^2 )

Luego podemos usar cando calculamos máximos o mínimos de una raíz cuadrada es que los máximos-mínimos de la raíz cuadrada están en la misma coordenada x que los máximos-mínimos de la función sin la raíz. Luego suprimimos esa raíz para hacer este cálculo

f(x) = 〖(x-5)〗^2 +〖(x^2-3x+5)〗^2

Derivamos e igualamos a cero

f '(x) = 2(x-5) + 2(x^2-3x+5)(2x-3) = 0

2x - 10 +〖 4x〗^3-〖 6x〗^2 - 12x^2 + 18x + 20x - 30 = 0

4x^3-18x^2 + 40x - 40 = 0

2〖x 〗^3- 9x^2 + 20x - 20 = 0

Supondremos que tiene solución entera. Entonces será divisor de 20/2 = 10 y podrá ser

{1,-1,2,-2,5,-5,10,-10}

Para x=1

2 - 9 + 20 - 20 = -7

Para x=-1

-2 - 9 - 20 - 20 = -51

Para x=2

16 - 36 + 40 - 20 = 0

Luego x= 2 es una solución

La derivada segunda es

f ''(x) = 12x^2 - 36x + 40

f ''(2) = 48 - 72 + 40 = 16 Positiva, luego es un mínimo.

Las coordenadas del punto más cercano son

(2,2^2-3•2)

Po = (2,-2)

Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a y cuyo producto sea máximo.

x+y = 100

Tenemos

y = 100-x

Luego los dos números son

x,100-x

Y su producto es

f(x) = x(100-x) = 100x - x^2

Calculemos el máximo de esa función derivando e igualando a cero

f '(x) = 100 - 2x = 0

100 = 2x

x = 50

Y es un máximo porque la derivada segunda es negativa

f ''(x) = -2

Y el valor de y es

y = 100 -50 = 50

En un río de de ancho están ubicados dos puntos y uno frente a otro y del mismo lado de hay un tercer punto ubicado a de tal forma que el segmento es perpendicular a . Una compañía de energía eléctrica quiere tender un cable desde hasta parando por el punto , como lo muestra a figura:

Si el costo por metro del cable bajo tierra es más barato que el cable bajo el agua. ¿Cómo se debe tender el cable para que el costo sea mínimo?

AB = 250

BC = 500

Sea x la distancia BD

Los metros bajo el agua serán

√((〖AB〗^2 +〖 BD〗^2)) = √((250 + x^2)) = √((62500+x^2))

Los metros bajo tierra serán 500-x

Si al metro bajo agua le damos un precio de 1, el metro bajo tierra vale 0.7

Luego el costo total es

c(x) =√( (62500+x^2) + 0.7(500-x))

Derivamos e igualamos a cero para hallar los extremos relativos

c^' (x)=x/√((62500+x^2 ) ) - 0.7 = 0

x/√((62500+x^2 ) ) = 0.7

x

...