Método De Exhaución

METODO DE EXHAUCIÓN (AREA DE UN SEGMENTO DE PARABOLA)

Este método consiste en hallar el área de una de las figuras particulares tratados por el mismo Arquímedes. La región en cuestión esta presentada por la figura:

Y puede describirse como se sigue: si se elige un punto arbitrario de la base y se designa por x su distancia cero; la distancia vertical de este punto a la curva es x². En particular si la longitud de la base es b, la altura de la figura es b². La distancia vertical de x, a la curva se denomina <<ordenada>> de x. la curva así descrita se denomina parábola; y la región limitada por ella y por los dos segmentos rectilíneos, se llama segmento parabólico.

Esta figura puede encerrarse en rectángulo de base b y altura b², como se en la figura anterior. Observando la figura parece natural afirmar que el área del segmento parabólico, es menor que la mitad del área del rectángulo.

Arquímedes hizo el sorprendente descubrimiento de que el área del segmento

b³

Parabólico es exactamente un tercio de la del rectángulo: A= ------ , donde A,

3

designa el área del segmento parabólico. Se mira a continuación como se llega a este resultado.

Se hace notar que el segmento parabólico dibujado en la figura 1, no esta elegido exactamente tal como lo dibujo Arquímedes y que los detalles que se siguen no son exactamente los utilizados por él. Sin embargo las ideas esenciales son las de Arquímedes:

El método consiste simplemente en lo siguiente: se divide la figura en un cierto número de bandas y se obtienen dos aproximaciones de la región, una por defecto y otra por exceso, utilizando dos conjuntos de rectángulos como se indica en la figura 2. (se utilizan rectángulos mejor que polígonos arbitrarios para simplificar los cálculos.) El área del segmento parabólico es mayor que el área total de los rectángulos interiores pero menor que la de los rectángulos interiores.

Si cada banda se subdivide a su vez, se obtienen una nueva aproximación con mayor numero de bandas, la reunión de las áreas de los rectángulos interiores crece, mientras que el total de las áreas de los rectángulos exteriores decrece, Arquímedes vio que podía lograr el área con el grado de aproximación deseado, sin mas que tomar un numero suficiente de bandas.

El cálculo efectivo en este caso se realiza como se indica a continuación.

Con objeto de simplificar se subdivide la base en n partes iguales, cada una de longitud

b

— figura 3.

n

Los puntos de subdivisión corresponden a los siguientes valores de x:

b 2b 3b (n − 1)b nb

0, —, -----, -----, . . . , -------------, ------ = b

n n n n n

kb

La expresión general de un punto de subdivisión es x = --------, donde k, toma los

n

kb

valores sucesivos k = o, 1, …, n. en cada punto -------¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ se construye el rectángulo

n

kb ²

exterior de altura ------- , como se indica en la figura 3.

n

El área de este rectángulo es el producto de la base por la altura y es igual a :

b kb b³

----- ------ = ----- k²

n n n³

Si se denomina por Sn la suma de las áreas de todos los rectángulos

b³

exteriores, puesto que el área del rectángulo k-esimo es ------ k², se tiene la

n³

formula:

b³

(1) Sn = ---- (1² + 2² + 3² + . . . + n²)

n³

De forma análoga se obtiene la formula para la suma sn de las áreas de todos los rectángulos interiores:

b³

(2) sn = ----- (1² + 2² + 3² + … + (n - 1)²)

n³

(El factor correspondiente en la ecuación (2) es análogo al correspondiente en la ecuación (2) salvo que suma tiene n-1 sumandos).

Para valores de n grandes, la obtención de esta suma por adición directa de sumandos es pesada, pero afortunadamente existe una interesante identidad que hace posible obtener esta suma por un camino más simple, y es la siguiente:

n³ n² n

(3) 1² + 2² + 3² + … + n² = ----- + ----- + ----

3 2 6

Esta identidad es valida para todo entero n≥1, y puede demostrarse del siguiente método: se parte de la formula: (k+1)³= k³ + 3k² +3k +1; y se pone en la forma: 3k² +3k +1 = (k+1)³ - k³

Haciendo k = 1,2, … , n -1; obtenemos las n -1 formulas.

3*1² + 3*1 + 1 = 2³ + 1³

3*2³ +3*2 + 1 = 3³ - 2³

:

•

3(n – 1)² 3(n – 1) + 1 = n³ - (n – 1)³

Al sumar estas dos formulas, todos los términos del segundo miembro se reducen excepto dos y se tiene:

2² -1²

3² - 2²

4² - 3²

+ 5² - 4²

:

...