Métodos modernos

Métodos modernos

Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

(1)

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como e , la longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante:

(2)

Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el intervalo , toma la forma:

(3)

En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segunda especie.

Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.

[editar] Deducción de la fórmula para funciones de una variable

Aproximación por múltiples segmentos lineales.

Para un pequeño segmento de curva, Δs se puede aproximar con el teorema de Pitágoras.

Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva s que va desde un punto a a uno b. Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa, , al aplicarse el teorema de Pitágoras. Así, una aproximación de s estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso se tiene que:

Pasando a operar algebraicamente la forma en la que se calcula cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;

Luego, el resultado previo toma la siguiente forma:

Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como se desee, de modo que Δx tienda a cero. Así, Δx se convierte en dx, y cada cociente incremental Δyi / Δxi se transforma en un dy / dx general, que es por definición . Dados estos cambios, la aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;

...