NOCIONES PRELIMINARES

NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS

11.1 Introducción.

En este tema vamos a considerar vectores en el espacio. Un vector une dos puntos del espacio. Por ejemplo si une los dos puntos A y B, entonces tiene su termino en el A(1,1,1) y su punta de flecha en B(2,4,6). En este caso las coordenadas o componentes de son (1,3,5) - se han restado las coordenadas de B menos las de A-.

El asunto es que un vector tiene cierta dirección, sentido y módulo, pero dos vectores con las mismas dirección, sentido y módulo se consideran iguales. Por lo tanto, un vector puede colocarse en cualquier lugar de su línea de aplicación, o incluso puede desplazarse paralelamente a su eje sin que el vector varíe. De cualquier forma, si representamos un vector en un sistema de ejes cartesianos OXYZ, intentaremos dibujarlo siempre con su terminación en el orígen de coordenadas O(0,0,0).

Dado un vector en el espacio euclídeo, así dibujado quedan claras cuáles son sus coordenadas:

* Producto escalar de dos vectores

Dados dos vectores utilizaremos el producto escalar:

llamado "producto escalar canónico".

* Norma o módulo de un vector.

Dado un vector en el espacio euclídeo se llama norma (o módulo) de a:

(Geométricamente la norma o módulo es la longitud del vector)

* Ángulo entre dos vectores.

Dados dos vectores el ángulo a entre ellos es:

Conocido este ángulo y los módulos también podemos expresar el producto escalar de dos vectores:

- En el caso de dos vectores ortogonales (perpendiculares entre sí), , tenemos que su producto escalar es nulo:

* Base canónica

Consideraremos la base canónica formada por los vectores i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1). Estos tres vectores son linealmente independientes y además son mutuamente ortogonales.

i, j, k forman la base canónica

Dado un vector en el espacio, se tiene:

son los llamados cosenos directores del vector . Geométricamente representan a los cosenos de los ángulos que el vector forma respectivamente con el eje OX, con el eje OY y con el eje OZ.

Como la norma de un vector coincide con su módulo (su longitud euclídea) a partir de ahora emplearemos la notación en lugar de .

* Producto vectorial de dos vectores.

Dados dos vectores , el producto vectorial de estos dos vectores es otro vector -que expresaremos como - perpendicular al plano definido por , y cuyo sentido lo da la regla del "avance del tornillo" (girando de hacia ) .

Su expresión general viene dada por:

cuyo módulo es:

siendo a el ángulo formado por los vectores u, v.

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