Notas de aritmética

Notas de aritmética

Es oportuno que recuerdes lo siguiente para comenzar con el estudio de las operaciones básicas y sus propiedades:

Tabla de clasificación de los números

Tema Símbolo Definición Ejemplo

Números naturales (N) Son los números con los que contamos (también se les llama enteros positivos). 1, 2, 3, …

Números enteros (Z) Conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero. …—3,–2, –1, 0, 1, 2,3…

Números reales (R): Conjunto compuesto por todos los números racionales y los irracionales. 3 2√4

6/3

Números racionales (Q): Conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma m/n, donde m y n son enteros, y n es diferente de 0. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas). 5,

7/8 = 0.8750,

1.3 = 4/3

Números irracionales (IQ) tienen representaciones no repetitivas infinitas por ejemplo √2 = 1.41421356…,

∏ = 3.14159265…,

No te desesperes, si tienes dificultades con algunos de estos números. Los matemáticos tardaron más de 2 000 años en descubrir una definición precisa de número, y esto ocurrió apenas el siglo pasado. En realidad, saber cómo se manipulan las variables y constantes correspondientes a los números es de mayor importancia ahora, para nosotros, que el conocimiento de los propios números como objetos.

Por otro lado es oportuno mencionar que no todas las operaciones que se realizan en ingenierías utilizan números enteros. También las cantidades negativas tienen significado en las leyes físicas.

Tal vez a alguno de ustedes se le facilite la clasificación de los números con el siguiente diagrama:

Otra de las herramientas que se suelen utilizar para ubicar a los números es la representación en la recta numérica, en la cual puede observase que entre número y número hay infinitos de otros números (densidad), para ello dedica un tiempo a revisar el siguiente esquema.

Imagen obtenida de http://www.geolay.com/pagehtm/aritmet01.htm

NOTA: es importante mencionar que lo símbolos utilizados para representar a los números (R, Q, Z, IQ y N) pueden variar en otros textos, ya que depende del enfoque y el símbolo que utilice el autor, aunque en el transcurso de este curso los expuestos son los símbolos que se utilizaran.

Operaciones con números reales

Las propiedades de los números reales nos proporcionan las reglas básicas para manipular las variables y constantes correspondientes a los números, las cuales se aplican en el álgebra, las cuales estudiaremos más adelante.

En el conjunto de los números reales (R) hay dos operaciones, denotadas por + y • que se denominan suma o adición y multiplicación o producto, respectivamente. Estas operaciones satisfacen los siguientes axiomas:

Axioma Suma o adición Multiplicación o producto

Conmutativa El orden de la suma no altera la suma.

a + b = b + a

Para todo a, b pertenece a los números R. El orden de los factores no altera el producto.

a • b = b • a

Para todo a, b pertenece a los números R.

Asociativa La suma de varios números no varía sustituyendo varios sumandos por su suma.

(a + b) + c = a + (b + c)

Para todo a, b, c pertenece a los números R. El producto de varios números no varía sustituyendo dos o más factores por su producto.

(a •b) • c = a • (b • c)

Para todo a, b, c pertenece a los números R.

Elemento único Existe un elemento único (cero), 0 que pertenece a los números R, tal que:

a + 0 = a Existe un elemento único (uno), 1 que pertenece a los números R, (1 ≠ 0) tal que:

a • 1 = a

Distributiva No aplica Para multiplicar una suma indicada por un número se multiplica cada sumando por este número y se suman los productos parciales.

Para multiplicar una resta indicada por un número se multiplican el minuendo y el sustraendo por este número y se restan los productos parciales.

a • (b + c) = a • b + a • c

Para todo a, b, c pertenece a los números R.

Continua investigando y leyendo sobre los números reales, te percatarás que después de todo no son tan complicados.

Operaciones con números racionales

Te recordamos que los números racionales son un conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma:

Donde m y n son enteros, y n es diferente de 0 (n ≠ 0). Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas).

En síntesis los números racionales son todos los números posibles de ser expresados como fracción.

Las fracciones, conocidas también como “quebrados”, son muy útiles en la vida cotidiana. Por ejemplo, cuando vamos al mercado a veces sólo compramos ½ o ¼ de kilo de algún producto. Esto también sucede en las áreas de ingeniería, donde la relación entre variables no es uno a uno.

Un número fraccionario o quebrado es el que expresa una o varias partes iguales de la unidad principal, en la cual una unidad principal es la unidad elegida y unidades secundarias son cada una de las partes iguales en que

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