Poligono Regulares

INTRODUCCIÓN

Las figuras geométricas planas cerradas reciben el nombre de polígonos. El estudio de las características de estas figuras ha ocupado a los filósofos y matemáticos desde la Antigüedad, y posee numerosas aplicaciones prácticas en la medida de superficies y en la generación de modelos geométricos complejos.

Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida. Algunos ejemplos son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.

En el trabajo que a continuación presento contiene los aspectos más importantes sobre los polígonos regulares.

POLÍGONOS REGULAR

Es un polígono cuyos lados y ángulos interiores son congruentes entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente; para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular,...). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.

Elementos de un Polígono Regular

 Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.

 Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.

 Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.

 Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.

 Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.

 Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.

 Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.

 Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro.

 Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio de un arco de circunferencia y cuerda.

Propiedades de un polígono regular

• Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida.

• Los polígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida.

• Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.

Ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º

Ángulo interior de un polígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo interior =180° − Ángulo central

Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º

Ángulo exterior de un polígono regular

Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

Ángulo exterior = Ángulo central

Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

Tipos de polígonos regulares

Triángulo equilátero

Tiene los 3 lados y ángulos iguales.

Cuadrado

Tiene 4 lados y ángulos iguales.

Pentágono regular

Tiene 5 lados y ángulos iguales.

Hexágono regular

Tiene 6 lados y ángulos iguales.

Heptágono regular

Tienen 7 lados y ángulos iguales.

Octágono regular

Tiene 8 lados y ángulos iguales.

Eneágono regular

Tiene los 9 lados y ángulos iguales.

Decágono regular

Tiene 10 lados y ángulos iguales.

Endecágono regular

Tiene 11 lados y ángulos iguales.

Dodecágono regular

Tiene 12 lados y ángulos iguales.

Tridecágono regular

Tienen 13 lados y ángulos iguales.

Tetradecágono regular

Tiene 14 lados y ángulos iguales.

Pentadecágono regular

Tiene 15 lados y ángulos iguales.

Hexadecágono regular

Tiene 16 lados y ángulos iguales.

Heptadecágono regular

Tiene 17 lados y ángulos iguales.

Octadecágono regular

Tiene 18 lados y ángulos iguales.

Eneadecágono regular

Tienen 19 lados y ángulos iguales.

Icoságono regular

Tiene 20 lados y ángulos iguales.

Construcciones de polígonos regulares dada la circunferencia

La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la división de dicha circunferencia en un número partes iguales. En ocasiones, el trazado pasa por la obtención de la cuerda correspondiente a cada uno de esos arcos, es decir el lado del polígono, y otras ocasiones pasa por la obtención del ángulo central del polígono correspondiente.

TRIÁNGULO, HEXÁGONO Y DODECÁGONO

Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4 respectivamente.

A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos determinarán, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por último con centro en B trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinará el punto C sobre la circunferencia dada.

Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el triángulo inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del dodecágono inscrito; para su total construcción solo tendríamos que llevar este lado, 12 veces sobre la circunferencia.

De los tres polígonos, solo el dodecágono admite la construcción de estrellados, concretamente del estrellado de 5. El hexágono admite la construcción de un falso estrellado, formado por dos triángulos girados entre sí 60º.

CUADRADO Y OCTÓGONO

Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente.

A continuación, trazaremos las bisectrices de los cuatro ángulos de 90º, formados por la diagonales trazadas, dichas bisectrices nos determinarán sobre la circunferencia los puntos 2, 4, 6 y 8.

Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, obtendremos

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