Probabilidades

Probabilidades

Lorena Llach - Victor Cepeda

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Conceptos Básicos

El concepto de probabilidades se enmarca frente a un problema o experimento, es así,

como en el caso del profesor, el experimento es seleccionar a dos alumnos entre cuatro.

Definimos a el “conjunto de resultados posibles” como al espacio muestral del

experimento y los denotamos por la letra Ω .

Algunos ejemplos son

• Lanzar una moneda. Ω = {Cara, Sello}

• Lanzar un dado. . Ω = {1,2,3,4,5,6}

• Seleccionar a dos alumnos entre 4 Ω .= {(1,2);(1,3);(1,4);(2,3),(2,4);(3,4)}

De igual forma el alumno que critica al profesor, está interesado en las posibilidades

que el profesor tienen de dictar un curso de nivel avanzado, esto lo define simplemente

un subconjunto del espacio muestral.

Se define como evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.

En los ejemplos anteriores tenemos como algunos eventos o sucesos:

• Lanzar una moneda. A = {Obtener cara}

• Lanzar un dado. B = {Obtener Numero par}

• Seleccionar a los dos alumnos. C = {Obtener (2, 4) ó (3,4)}

Nuevamente la pregunta que surge, es ¿Cuántos subconjuntos o eventos o sucesos son

posibles?

La respuesta se desprende del siguiente teorema: un conjunto con N elementos tiene

2N subconjuntos posibles, incluyendo al conjunto . y al conjuntoφ , así :

• Lanzar una moneda. Tiene 22 = 4 Subconjuntos

• Lanzar un dado. 26 = 64 Tiene Subconjuntos

• Seleccionar a los dos alumnos. Tiene 26 = 64 Subconjuntos

Definición formal de probabilidades

Diremos que una función P será una función de probabilidades, si ésta cumple con las

siguientes propiedades:

1: P(Ω) = 1,

2: 0 ≤ P(A) ≤ 1, para cualquier evento A de Ω.

3: P(φ ) = 0

4: P(A) + P(Ac ) = 1⇒ P(Ac ) = 1− P(A)

5: P(AU B) = P(A) + P(B) − P(AI B)

6: Si A y B son excluyentes o disjuntos, es decir, AI B =φ , Entonces:

i) P(AI B) = 0

ii) P(AU B) = P(A) + P(B)

7: Si A y B son independientes P(AI B) = P(A) ⋅ P(B)

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Ejemplo:

Suponga que el mantenimiento de un extenso archivo de expedientes médicos para

efectos de seguro, la probabilidad de que un error de procesamiento ocurra es de 0.10; la

probabilidad de un error de archivo es de 0,09; la probabilidad de un error de

recuperación, es de 0.12; la probabilidad de un error de procesamiento así como de

archivo es de 0.02; la probabilidad de un error de procesamiento así como de

recuperación es de 0.03; la probabilidad de un error de archivo, así como de

recuperación es de 0.03; y la probabilidad de un error de procesamiento, archivo y

recuperación es de 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que se cometa al menos uno de

estos errores?

Si definimos:

A=Error de Procesamiento

B=Error de Archivo y

C=Error Recuperación,

Se tiene:

P(A) = 0.1; P(B) = 0.09 P(C) = 0.12

P(AI B) = 0.02 P(AI C) = 0.03 P(B I C) = 0.03

P(AI B I C) = 0.01

Probabilidad pedida es P(AU B UC).

Graficando Tenemos

La forma de solucionar el problema es partir de P(AI B IC), luego ocupar P(AI B),

P(AI C), P(B I C) y finalmente P(A), P(B) y P(C).

P(A)

P(B)

P(C)

0,05

0,07

0,01

0,06

0,02

0,02

0,01

0.76

Ω

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Espacio Equiprobable

Diremos que (Ω, P) es un espacio equiprobable, si la función de probabilidades P

definida en el espacio Ω , asigna igual probabilidad a todos los resultados del

experimento. De esta forma, en este espacio sólo se hace necesario saber contar el

número de elementos que tienen un conjunto, es decir, saber determinar, las posibles

formas que puede ocurrir un experimento y cualquier subconjunto de él. La teoría que

estudia este problema, es llamada teoría de conteo, y el próximo capítulo está enfocado

a el, mostrando sólo algunas herramientas básicas, que se harán necesarias para el

cálculo posterior de probabilidades

Teoría de Conteo

Principio Básico de Multiplicación.

Suponga que un Experimento puede ocurrir de N formas y que éste se puede separar en

dos sub-experimentos

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