Problemas Olimpicos

Problemas olímpicos

Pregunta No. 1

El ángulo A del triángulo isósceles ABC mide 2/5 de un ángulo recto, siendo iguales susángulos B y C. La bisectriz de su ángulo C corta al lado opuesto en D. Calcular lasmedidas de los ángulos del triángulo BCD. Expresar la medida a del lado BC enfunción de la medida b del lado AC, sin que en la expresión aparezcan razonestrigonométricas.

Pregunta No. 2

Demostrar que para todo número primo p distinto de 2 y de 5, existen infinitosmúltiplos de p de la forma 111...1 (escritos sólo con unos)

Pregunta No. 3

Escrito el triángulo aritméticodonde cada número es la suma de los dos que tiene encima (cada fila tiene unnúmero menos y en la última sólo hay un número). Razonar que el último númeroes múltiplo de 1993.

Pregunta No. 4

Considere un cuadrilátero cualquiera con área igual a 5 y lados mayores o iguales a2. Se tienen cuatro circunferencias de radio 1, con centro en cada uno de los vérticesdel cuadrilátero. Encontrar el área sombreada de la figura.

Pregunta No. 5

Los números naturales a y b son tales que (a+1)/b (b+1)/aes entero. Demostrar que el máximo común divisor de a y b no es mayor que √(a+b)

Pregunta No. 6

a) Pruebe que un polígono convexo de n lados tiene(n(n-3))/2diagonales.

b) Pruebe que si n > 4, se tiene que

c) ¿Cuál es el polígono que tiene 119 diagonales?

Pregunta No. 7

Considérese la sucesión: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,... ¿Cuál sería el término2000?

Pregunta No. 8

Encuentre el resultado de la siguiente suma:

Pregunta No. 9

Sea ABCD un cuadrado en el cual tenemos inscrito otro cuadrado EFGH cuyosvértices se encuentran ubicados en los puntos medios de los lados del cuadrado

ABCD. A su vez tenemos un círculo de área a inscrito en el cuadrado EFGH.

Encuentre el área del cuadrado ABCD en función de a.

Pregunta No. 10

Ana ha decidido salir a caminar exactamente un kilómetro cada día. Vive en una ciudad cuadriculada de 5km x 5 km, en la que cada cuadra mide 100 m x 100 m y su casa está en una esquina del centro. ¿Durante cuántos días puede hacerrecorridos distintos, si siempre empieza los recorridos saliendo de su casa yterminando también en ella, pero sin repetir ningún otro punto en el recorrido de cada día?(NOTA: Recorridos de días distintos pueden tener partes en común einclusive determinar el mismo camino pero en sentido contrario).

Pregunta

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