Proyecto Grupal Matematicas

Estamos interesados principalmente por funciones continuas; pero en la práctica hay muchas funciones continuas por partes o a trozos.

Para integrar una función continua por partes, integramos las extensiones individuales sumamos los resultados.

La integral de

En [-1, 3] es

Aplicando ahora el teorema fundamental del cálculo parte II, evaluamos la integral en los límites de integración superior e inferior así:

Donde es el resultado de integrar también llamada anti-derivada.

Por lo tanto tenemos:

Graneando esta función tenemos:

Tenga en cuenta que también es posible encontrar la función a trozos usando la gráfica la función.

Dada la gráfica de la función

Calcule la función a trozos.

Intégrela sobre su dominio.

Calculamos las funciones de cada trozo:

Al observar el primer trozo notamos que es una función lineal de la forma x=y ya que para todo valor de x el valor correspondiente a y es el mismo por eso decimos que la primera parte es:

f(x)=Y

Luego pasamos al segundo trozo el cual tiene forma de ecuación cuadrática por ello asumiremos que su vértice es (0,1) el cual está en la parte superior de la función y con ello determinamos su función mediante la ecuación de la cuadrática.

(x-h)^2=±4p(y-k)

Donde h y k son las coordenadas del vértice de la forma (h, k) y determinaremos p con otro punto de la misma función que en este caso será el punto de corte en x (1,0) y como la grafica abre hacia abajo el signo antes del 4 es negativo

(1-0)^2=±4p(0-1)

1=-4p(-1)

1=4p

1/4=p

De esta manera ya tenemos todos los datos para determinar la función h=0, k=1 y p=1/4

Remplazamos y resumimos la función

(x-0)^2=-4 1/4 (y-1)

x^2=-1(y-1)

x^2=-y+1

x^2-1=-y

〖-x〗^2+1=y

Y de esta manera obtenemos la función de la segunda parte y ahora la tercera parte es una función contante por lo tanto tendrá la forma

f(x)=1

Ahora unimos los trozos en la función

f(x)={█(█(x si-1≤x<0@-x^2+1 si 0≤x<1@1 si 1≤x≤2)@)┤

Integramos la función

∫_(-1)^2▒f(x)dx

∫_(-1)^0▒〖x dx〗+∫_0^1▒〖-x^2+1 dx〗+∫_1^2▒〖1 dx〗

Determinamos las primitivas y las evaluamos

⌈x^2/2⌉ ■(0@-1)+[-x^3/3+x] ■(1@0)+[x] ■(2@1)

0/2-1/2-1/3+1+0/3-0+2-1

7/6

En la integral de la función es 7/6

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