Regresion Lineal

REGRESIÓN LINEAL

Sean dos variables X y Y, suponga que se quiere explicar el comportamiento de Y con base en los valores que toma X. Para esto, se mide el valor de Y sobre un conjunto de n valores de X, con lo que se obtiene n parejas de puntos (x1, y1),

(x2, y2),…, (xn, yn). A y se le llama la variable dependiente o la variable de respuesta y a X se le conoce como variable independiente o variable regresora. La variable X no necesariamente es aleatoria.

PORCENTAJE DE FIBRA RESISTENCIA

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30 134

145

142

149

144

160

156

157

168

166

167

171

174

183

Muchas ocasiones el investigador fija sus valores, en cambio Y si es una variable aleatoria. Una manera de estudiar el comportamiento de Y respecto a X es mediante un modelo de regresión, que consiste en ajustar un modelo matemático de la forma

Y= f(X)

A las n parejas de puntos. Con lo cual se puede ver si dado un valor de la variable independiente X se puede predecir el valor promedio de Y.

Suponga que las variables X y Y están relacionadas linealmente y que para cada valor de X, la variable dependiente, Y, es una variable aleatoria. Es decir, que cada observación de Y puede ser descrita por el modelo

Y = β0+β 1X+E

Donde E es un error aleatorio con media cero y varianza σ2. También suponga que los errores aleatorios no están correlacionados. La ecuación de la tabla es conocida como el modelo de regresión lineal simple. Bajo el supuesto de que este modelo es adecuado y como el valor esperado del error es cero, E (E) = 0, se puede ver que el valor esperado de la variable Y, para cada valor de X, está dado por línea recta

E (Y, X)= β0+β 1X

En donde β0 y β 1X son los parámetros del modelo y son constantes desconocidas. Por tanto, para tener bien especificada la ecuación que relaciona las dos variables será necesario estimar los dos parámetros, que tienen los siguientes significados: β0 es el punto en el cual la línea recta intercepta o cruza el eje y, Y β 1 es la pendiente de la línea, es decir, es la cantidad en que se incrementa o disminuye la variable y por cada unidad que se incrementa X.

Existen otros modelos de regresión que solo incluye una variable independiente y que se aplican cuando se espera o se observa que la relación entre X y Y no es modelada por una línea recta. Algunos de estos modelos son los siguientes:

• El exponencial: Y = e β0+β 1X

• El reciproco-Y: Y 1/( β0+β 1X)

• Multiplicativo: Y= β0Xβ1

• Reciproco-X: Y= β0+β 1/X

• Logarítmico-X: Y= β0+β 1ln(X)

• Raíz cuadrada-Y:

...