SOLUCION

SOLUCION

PUNTO 1

a.- Según la gráfica existe $$f(1)$$ y su imagen es 1, es decir:

$$f(1)=1$$

b.- Según la gráfica cuando x se acerca a 1 por derecha y por izquierda, la función f se acerca a 2 por lo tanto:

$$\lim_{x\to 1} f(x)=2$$

c.- La función $$f(x)$$ no es continua en 1 puesto que incumple una de las condiciones de continuidad:

$$\frac{\lim_{x\to 1}f(x)}{2}$$ ≠ $$\frac{f(1)}{1}$$

e.- La función $$f(x)$$ es discontinua en los siguientes puntos $$x={0, 1 , 2, 3}$$ debido a que la imagen en estos puntos es diferente a los limites en los mismos. En los puntos $$x={1 , 2, 3}$$ el tipo de discontinuidad es evitable ya que el límite en esos puntos existe; y en el punto $$x={0}$$ la discontinuidad es de salto puesto que los límites laterales hacia ese punto son diferentes.

d.- Para que sea continua en 2 el valor de $$f(2)=0$$

f.- Según la gráfica cuando x se acerca a 0 por la derecha, la función f se acerca a 0, es decir:

$$\lim_{x\to 0+} f(x)=0$$

g.- Según la gráfica cuando x se acerca a 0 por la izquierda, la función f se acerca a -1, es decir:

$$\lim_{x\to 0-} f(x)=-1$$

PUNTO 2:

Calcular la derivada de la función y simplifique la respuesta:

Inicialmente $$f(x)$$ se puede expresar de la siguiente manera:

$$f(x)=(\frac{x^3+1}{x^3-1})^\frac{1}{4}$$

Por lo tanto la derivada de $$f(x)$$ aplicando la regla de la cadena es igual a:

$$f(x)=\frac{1}{4}\cdot(\frac{x^3+1}{x^3-1})^\frac{1}{4}{^-}{^1}$$ $$\cdot\frac{(3x^2)(x^3-1)-(3x^2)(x^3+1)}{(x^3-1)^2}$$

$$f(x)=\frac{1}{4}\cdot(\frac{x^3+1}{x^3-1})^\frac{-3}{4}$$ $$\cdot(3x^2)\cdot\frac{(x^3-1)-(x^3+1)}{(x^3-1)^2}$$

$$f(x)=\frac{1}{4}\cdot(\frac{x^3+1}{x^3-1})^\frac{-3}{4}$$ $$\cdot(3x^2)\cdot\frac{-2}{(x^3-1)^2}$$

$$f(x)=\frac{-6}{4}\cdot(\frac{x^3-1}{x^3+1})^\frac{3}{4}$$ $$\cdot\frac{x^2}{(x^3-1)^2}$$

$$f(x)=\frac{-3}{2}\cdot\frac{(x^3-1)^\frac{3}{4}}{(x^3+1)^\frac{3}{4}}$$ $$\cdot\frac{x^2}{(x^3-1)^2}$$

$$f(x)=\frac{-3}{2}\cdot\frac{(x^3-1)^\frac{3}{4}}{(x^3-1)^2}$$ $$\cdot\frac{x^2}{(x^3+1)^\frac{3}{4}}$$

$$f(x)=\frac{-3}{2}\cdot\frac{1}{(x^3-1)^\frac{5}{4}}$$ $$\cdot\frac{x^2}{(x^3+1)^\frac{3}{4}}$$

$$f(x)=\frac{-3}{2}\cdot\frac{x^2}{(x^3-1)^\frac{5}{4}\cdot(x^3+1)^\frac{3}{4}}$$

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