Seire De Bernoulli

Dato histórico

El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705).

Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre el cual establece las bases para el desarrollo y utilización de la distribución binomial.

Ensayo de Bernoulli

Suponiendo que se realiza un experimento como el lanzamiento de una moneda o de un dado repetidas veces o la extracción, también repetidamente, de una canica de una urna. Cada lanzamiento o cada extracción se llaman ENSAYO. En cada uno de ellos habrá una probabilidad de ocurrencia asociada a un evento particular, como, por ejemplo, obtener cara en el caso de la moneda, 4 en el caso del dado o extraer una canica roja. En algunos casos esta probabilidad no varía de un ensayo a otro. Tales ensayos son independientes y se les llama ensayos de Bernoulli en honor a James Bernoulli.

Distribución de Bernoulli

Sea p la probabilidad de que ocurra un evento en un ensayo de Bernoulli (a lo que se le llama probabilidad de éxito). Entonces q=1-p es la probabilidad de que en un ensayo ese evento no ocurra (a lo que se le llama probabilidad de fracaso). La probabilidad de que el evento ocurra exactamente x veces en n ensayos (es decir, x éxito y n-x fracasos) está por la función de probabilidad:

Función de probabilidad:

q = (1 - p) para x = 0

p para x = 1

0 en cualquier otro caso

Función de distribución:

0 para x < 0

FX(x) q para 0 ≤ x < 1

1 para x≥1

Media:

E (x)=p

Moda:

0 si q > p

0 y 1 si q = P

1 si q < p

Varianza:

VAR (x)=p*q

Ejemplos:

Ana Karen, es una estudiante de la facultad de ingeniería, y el semestre anterior cursó seis materias de las cuales aprobó todas menos cálculo Integral.

Por distribución de Bernoulli sea P = éxito las materias aprobadas y q = 1 -P las materias no aprobadas, calcular la varianza y la media:

Varianza:

p*q = (5/6)(1/6) = 5/36

Media:

p= 5/6

Se sabe que una máquina produce un 3% de piezas defectuosas. Elegimos una pieza al azar para comprobar si no presenta defectos. ¿Cómo se distribuye la variable x que vale 1 si la pieza no es defectuosa y 0 si es defectuosa?

Si x =1 tiene la probabilidad p=0.97

Si x=0 tiene la probabilidad q=1-p=0.03

Media:

p=0.97

Varianza:

p*q= (0.97)(0.03)=0.0291

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