Disribucion Bernoulli

Distribución de Bernoulli

En realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a los posibles resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación real que pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir este experimento mediante una v.a. discreta X que toma los valores X=0 si el suceso no ocurre, y X=1 en caso contrario, y que se denota

Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al aire y considerar la v.a.

Para una v.a. de Bernouilli, tenemos que su función de probabilidad es:

y su función de distribución:

Su función característica es:

Los principales momentos de la X los podemos calcular directamente

o bien usando la función característica y la proposición de la página :

Distribución binomial

Se dice que una v.a. X sigue una ley binomial de parámetros n y p, , si es la suma de n v.a. independientes de Bernouilli con el mismo parámetro, p:

Esta definición puede interpretarse en el siguiente sentido: Supongamos que realizamos n pruebas de Bernouilli, Xi, donde en todas ellas, la probabilidad de éxito es la misma (p), y queremos calcular el número de éxitos, X, obtenidos el el total de las n pruebas. Su ley de probabilidad es6.1 En la Figura 6.1 se representa la función de probabilidad de una variable binomial.

Figura: Función de probabilidad de una variable binomial cunado n es pequeño.

Figura: Función de probabilidad de una variable binomial cuando n es grande.

Por tanto, su función de distribución es

El modo más simple de calcular la función característica nos lo da el teorema de la página , que afirma que la función característica de la suma de variables independientes es el producto de las funciones características de estas:

Los principales momentos de X los calculamos más fácilmente a partir de (prop. página 5) que de su propia definición:

6.4.4.1 Ejemplo

Un médico aplica un test a 10 alumnos de un colegio para detectar una enfermedad cuya incidencia sobre una población de niños es del . La sensibilidad del test es del y la especificidad del . ¿Cual es la probabilidad de que exactamente a cuatro personas le de un resultado positivo? Si en la muestra hay cuatro personas a las que el test le da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que entre estas, exactamente dos estén sanas? Calcular la probabilidad de que el test suministre un resultado incorrecto para dos personas. Calcular la probabilidad de que el resultado sea correcto para más de 7 personas.

Solución:

Los datos de que disponemos son:

donde E, T+, y T- tienen el sentido que es obvio. Si queremos saber a cuantas personas el test le dará un resultado positivo, tendremos que calcular , para lo que podemos usar el teorema de la probabilidad total (estar enfermo y no estarlo forman una colección exhaustiva y excluyente de sucesos):

Sea X1 la v.a. que contabiliza el número de resultados positivos. Es claro que llamando , se tiene que X sigue una distribución binomial

Por ello la probabilidad de que a cuatro personas le de el resultado del test positivo es:

Si queremos calcular a cuantas personas les dará el test un resultado positivo aunque en realidad estén sanas, hemos de calcular previamente , o sea, el índice predictivo de falsos positivo:

Es importante observar este resultado. Antes de hacer los cálculos no era previsible que si a una persona el test le da positivo, en realidad tiene una probabilidad aproximadamente del de estar sana. Sea X2 la variable aleatoria que contabiliza al número de personas al que el test le da positivo, pero que están sanas en realidad. Entonces

y

Por último vamos a calcular la probabilidad p3 de que el test de un resultado erróneo, que es:

La variable aleatoria que contabiliza el número de resultados erróneos del test es

Como la probabilidad de que el test sea correcto para más de siete personas, es la de que sea incorrecto para menos de 3, se tiene

DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc.

- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.

- # de bacterias por cm2 de cultivo

- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

donde:

p(x, l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es l

l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

e = 2.718

x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

Ejemplos:

1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

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