Series Y Sucesiones

Sucesiones:

En el campo de las matemáticas una sucesión es definida como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Aunque esta sea una función ,usualmente es representada con una notación de subindices en vez de una notación funcional.Por ejemplo:

1, 2, 3, 4, 5, .....n, ...........

a1, a2, a3, a4, a5, an, ...........

1 se aplica en a1, 2 en a2, etc. Llamamos a an el n-ésimo término de la sucesión y esta s denotada por {an}.

Dominio general de una Sucesión:

Viene dado por el siguiente método:

1) Para la sucesión {an}= {3+(-1)n}, los cuatro términos primeros son:

3 + (-1)1, 3 + (-1)2 , 3 + (-1)3, 3 + (-1)4, ....... R= 2, 4, 2, 4, ......

2) Para la sucesión {bn}= {2n/(1 + n), los cuatro términos primeros son:

2*1 /(1 + 1), 2*2 /(1 + 2), 2.3/(1 + 3), 2*4 /(1 + 4),.....R= 2/2, 2/3, 6/4, 8/5,.....

Definición del Límite de una Sucesión:

Se define de la siguiente manera; Si para  > 0 existe M >0 tal que [an – L] <  siempre que n > M ,entonces decimos que el límite de la sucesión {an} es L y escribimos :

Limn-an= L

Las sucesiones que tienen límite (finito) se llaman covergentes y las demás divergentes.

Límite de una Sucesión:

Sea f función de una variable real tal que :

Límx-oo f (x) = L

Si {an}es una sucesión tal que f (n) = an para todo entero positivo n, entonces :

Límn-oo an = L

Propiedades de los Límites de las sucesiones:

Si: Límn-oo an= L y Límn-oo bn = K

Las siguientes propiedades son válidas:

1) Límn-oo(an+- bn) = L +- K 2) Lím n-oo can = cL, c es cualquier número real.

3) Límn-oo (an bn) = LK 4) Límn-oo an/bn = L/K, solo si bn es diferente de 0

Determinando la Convergencia o Divergencia de una sucesión:

Determinar la convergencia en las siguientes sucesiones:

1) an = 3 + (-1)n 2) bn = n / 1-2n

1) an = 3 + (-1)n solución: como an = 3 + (-1)n tiene términos 2, 4, 2, 4,..... que oscilan entre 2 y 4 , no hay límite y la sucesión diverge.

2) Para {bn}, podemos dividir por n numerador el denominador para obtener:

Límn-oo n /(1- 2n) = Límn-oo [1/(1/oo) – 2] = -1/2 ,por lo tanto la sucesión converge a –1/2.

Sucesiones Monótonas:

Una sucesión es monótona si sus términos son no decrecientes:

1, 2, 3, 4, 5, 6, ........

o si sus términos son no crecientes:

1, 4, 3, 8, 5, ...........

Determinando si una sucesión es monótona,se toman las siguientes sucesiones como ejemplos:

1) {an}= {3+(-1)n} Esta sucesión alterna entre 2, y 4 por lo tanto no es monótona. Y

2) {bn}= {2n/(1 + n) Monótona , por que cada término es mayor que su predecesor.

Sucesiones Acotadas:

Una sucesión {an} es acotada si existe un número real positivo M tal que [an] sea menor o igual que

M para todo n.

Llamamos a M una cota superior de la sucesión por ejemplo las tres sucesiones siguientes son acotadas

debido a :

[3+(-1)n] es <o = a 4, [2n / 1+n] es < o = a 2 y [n2/2n-1] es < o = 4/3

Debido a que los números reales son completos lo cual significa geométricamente que no hay agujeros ni huecos en la recta real,este axioma de completitud de los reales puede ser utilizado para concluir que si una sucesión tiene cota superior, entonces ha de existir una mínima cota superior. Así, la cota superior mínima de la sucesión {an} = {n /n + 1},

1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ..., n/(n+1), .......

es 1, ya que la sucesión es monótona y converge hacia 1 y [n/(n+1)] es menor o igual a 1 lo que nos dice entonces que si una sucesión {an}es monótona y acotada entonces es convergente.Por ejemplo:

1/2, 4/3, 9/4 , 16/5, ..........., n2/n+1........ es monótona pero no acotada,pues:

Límn-oo an= oo

Por

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